2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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一、选择题
1. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正弦值（ ）
(A) 扩大4倍 (B) 扩大2倍 (C) 保持不变 (D) 缩小4倍
答案：根据锐角三角函数的定义，正弦值是角的对边与斜边的比值。在直角三角形中，各边长度同时扩大相同倍数，其对应边的比值不变，所以锐角B的正弦值保持不变，答案选C。
2. 在△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，sinA=\frac{2}{3}，则边AC的长是（ ）
(A) \sqrt{5} (B) 3 (C) \frac{4}{3} (D) \sqrt{13}
答案：因为sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 2，所以AB = 3。根据勾股定理AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}，答案选A。
3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，AC = 3，那么∠A的三角比值为\frac{3}{5}的是（ ）
(A) sinA (B) cosA (C) tanA (D) cotA
答案：在Rt△ABC中，AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}，tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}，cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}，答案选B。
二、填空题
4. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c。
(1) 若已知a、c，则sinA = ______，cosA = ______；
(2) 若已知c、sinB，则b = ______；
(3) 若已知a、cosB，则c = ______。
答案：(1) 根据正弦和余弦的定义，sinA=\frac{a}{c}，cosA=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{c}；(2) 因为sinB=\frac{b}{c}，所以b = c\cdot sinB；(3) 因为cosB=\frac{a}{c}，所以c=\frac{a}{cosB}。
5. 点A(1, y)在第四象限，且OA与x轴的夹角为α，若cosα=\frac{1}{2}，则A点的坐标是______。
答案：因为点A(1, y)在第四象限，cosα=\frac{1}{OA}=\frac{1}{2}，所以OA = 2。根据勾股定理y=-\sqrt{OA^{2}-1^{2}}=-\sqrt{2^{2}-1^{2}}=-\sqrt{3}，则A点坐标是(1,-\sqrt{3})。
6. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，sinA=\frac{2}{3}，那么AB的长是______。
答案：因为sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 4，所以AB = 6。
7. 在Rt△ABC中，∠A = 90°，AC = 3，BC = 4，则sinC = ______，cosC = ______。
答案：AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}。sinC=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{4}，cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}。
8. 如图，已知点O是△ABC的重心，BO⊥CO，sin∠CBO=\frac{3}{5}，如果BO = 8，那么点A、O之间的距离为______。
答案：延长AO交BC于点D，因为点O是重心，所以AD是中线，且AO = 2OD。在Rt△BOC中，sin∠CBO=\frac{CO}{BC}=\frac{3}{5}，BO = 8，根据勾股定理CO = 6，BC = 10，所以OD=\frac{1}{2}BC = 5，则AO = 10。
9. 在△ABC中，∠C = 90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE垂直平分AB，连接BE，如果tanA=\frac{1}{3}，那么cos∠CBE = ______。
答案：设AC = 3x，BC = x，则AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{10}x。因为DE垂直平分AB，所以AE = BE。设AE = BE = y，则CE = 3x - y，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得y^{2}=(3x - y)^{2}+x^{2}，解得y=\frac{5}{3}x，CE=\frac{4}{3}x，BE=\frac{5}{3}x，所以cos∠CBE=\frac{BC}{BE}=\frac{x}{\frac{5}{3}x}=\frac{3}{5}。
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，sinB=\frac{3}{5}，点E、D分别在边AB、BC上，\frac{BE}{CD}=\frac{4}{3}，如果∠CAD = ∠B，那么BE的长是______。
答案：在Rt△ABC中，AC = AB\cdot sinB = 3，BC = 4。因为∠CAD = ∠B，所以tan∠CAD = tanB=\frac{3}{4}。设CD = 3x，则BE = 4x，BD = 4 - 3x，AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9 + 9x^{2}}。又因为cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，在△ABD中，根据余弦定理列出方程，解得x = 1，所以BE = 4。
三、解答题
11. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，sinA+sinB=\frac{7}{5}，a + b = 28，求c的值。
答案：因为sinA=\frac{a}{c}，sinB=\frac{b}{c}，所以\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{7}{5}，即\frac{a + b}{c}=\frac{7}{5}。又因为a + b = 28，所以c = 20。
