2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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11. 如图，O是△ABC内任一点，A'、B'、C'分别为OA、OB、OC的中点.△A'B'C'与△ABC相似吗？为什么？
答案：相似。理由如下：因为A'、B'、C'分别为OA、OB、OC的中点，所以由三角形中位线定理可得：A'B' = $\frac{1}{2}$AB，B'C' = $\frac{1}{2}$BC，A'C' = $\frac{1}{2}$AC，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{1}{2}$。根据相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似，所以△A'B'C'∽△ABC。
12. 如图，△ABC和△DEF在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，试证明这两个三角形相似.
答案：由勾股定理可得：AB = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$；DE = $\sqrt{6^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{10}$，EF = $\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，DF = $\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$。则$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$。根据相似三角形判定定理3，可得△ABC∽△DEF。
13. 如图，在△ABC中，CD = CE，2AD = 3AE，2BD = 3CD，求证：△ABD∽△ACE.
答案：因为2AD = 3AE，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$；因为2BD = 3CD，且CD = CE，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{3}{2}$，则$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$。又因为∠A = ∠A（公共角），根据相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，所以△ABD∽△ACE。
14. 如图1，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.（1）求$\frac{BC}{AC}$的值和∠ACB的度数；（2）请在图2的两个3×3的正方形网格中分别画出与△ABC不全等的△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂∽△ABC，B₁C₁∶B₂C₂≠1.
答案：（1）由勾股定理得：BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$\frac{BC}{AC}=1$。AB = $\sqrt{4^{2}} = 4$，因为BC² + AC² = (2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=8 + 8 = 16 = AB²，根据勾股定理逆定理可知，∠ACB = 90°。（2）画图略（根据相似三角形的性质，按照一定的相似比在3×3正方形网格中画出符合条件的三角形即可）。
