2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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一、选择题
1. 如图，$AB \parallel DE$，$AE$与$BD$相交于点$O$，若$AB = 2$，$DE=\sqrt{2}$，$CE:AC$等于（ ）
(A)$1:1$
(B)$1:2$
(C)$\sqrt{2}:2$
(D)$\sqrt{2}:3$
答案：因为$AB\parallel DE$，所以$\triangle AOB\sim\triangle EOD$，则$\frac{AB}{DE}=\frac{AO}{OE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，即$\frac{AO}{OE}=\sqrt{2}$，那么$\frac{OE}{AO}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。又因为$\frac{CE}{AC}=\frac{OE}{AO}$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:2$，答案选C。
2. 如图，在边长为1的小正方形网格中，$AB$、$CD$相交于点$O$，点$A$、$B$、$C$、$D$都在这些小正方形网格的格点上，则$\frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}}$的值为（ ）
(A)$\frac{3}{2}$
(B)$\frac{9}{4}$
(C)$\frac{2}{3}$
(D)$\frac{4}{9}$
答案：通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。易知$\triangle AOC\sim\triangle BOD$，相似比$k = \frac{AO}{BO}$，通过勾股定理求出$AO$、$BO$长度，进而得到相似比，相似三角形周长比等于相似比。经计算相似比为$\frac{2}{3}$，所以$\frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}}=\frac{2}{3}$，答案选C。
3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的高，$AC = 3\sqrt{2}$，$AB = 9$，则线段$AD$为（ ）
(A)2
(B)$\frac{\sqrt{2}}{3}$
(C)3
(D)$\sqrt{2}$
答案：因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$AC^{2}=AD\times AB$，将$AC = 3\sqrt{2}$，$AB = 9$代入可得$(3\sqrt{2})^{2}=AD\times9$，$18 = 9AD$，解得$AD = 2$，答案选A。
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 6$，点$D$在边$BC$上，$\angle ADE=\angle B$，$CD = 4$，若$\triangle ABD$的面积等于6，则$\triangle CDE$的面积为（ ）
(A)3
(B)$\frac{8}{3}$
(C)$\frac{4}{3}$
(D)6
答案：因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$，又因为$\angle ADE=\angle B$，所以$\angle ADE=\angle C$，且$\angle BAD+\angle BDA = 180^{\circ}-\angle B$，$\angle CDE+\angle BDA = 180^{\circ}-\angle ADE$，所以$\angle BAD=\angle CDE$，则$\triangle ABD\sim\triangle DCE$。设$\triangle CDE$的面积为$S$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再根据已知$\triangle ABD$面积求出$S$。经计算$S=\frac{8}{3}$，答案选B。
二、填空题
5. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$BC$上，$DE\parallel AC$，$DB = 4$，$DA = 2$，$DE = 3$，则$AC=$______。
答案：因为$DE\parallel AC$，所以$\triangle BDE\sim\triangle BAC$，则$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}$，$BA=BD + DA=4 + 2 = 6$，即$\frac{3}{AC}=\frac{4}{6}$，解得$AC=\frac{9}{2}$。
6. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$，若$DE = 6$，则$BC=$______。
答案：因为$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$，且$\angle DAE=\angle BAC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$，则$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，已知$DE = 6$，即$\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}$，解得$BC = 10$。
7. 如图，$\triangle ABC$中，$DE\parallel BC$，$DE$把$\triangle ABC$的面积分为相等的两部分，若$BC = 10\ cm$，则$DE=$______$cm$。
答案：因为$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，因为$DE$把$\triangle ABC$的面积分为相等的两部分，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}$，则相似比$\frac{DE}{BC}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，已知$BC = 10\ cm$，所以$DE = 5\sqrt{2}\ cm$。
8. 如图，在菱形$ABCD$中，延长$BC$至点$F$，使得$BC = 2CF$，连接$AF$，交$CD$于点$E$，若$CE = 2$，则菱形$ABCD$的周长为______。
答案：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD\parallel BC$，则$\triangle ADE\sim\triangle FCE$，相似比为$\frac{AD}{CF}$，又因为$BC = 2CF$，$AD = BC$，所以$\frac{AD}{CF}=2$，即$\frac{DE}{CE}=2$，已知$CE = 2$，则$DE = 4$，$CD=DE + CE=6$，所以菱形$ABCD$的周长为$4\times6 = 24$。
