1.函数y=x³+x的单调增区间为(   )

A.(-∞,+∞)                   B.(0,+∞)

C.(-∞,0)                     D.不存在

分析 本题考查利用导数求函数的单调区间.

解 ∵y′=3x²+1>0恒成立，

∴y=x³+x在(-∞,+∞)上为增函数，没有减区间

答案 A

2.若函数f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是（   ）

分析 本题主要考查二次函数及导数的基础知识.

解 利用导数公式求出导函数,从而确定图象.

∵f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限,

∴->0,即b<0.

∵f′(x)=2x+b(b<0),∴图象A为所求.

答案 A

3.★右图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 （   ）

A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数

B.在(1,3)内f(x)是减函数

C.在(4,5)内f(x)是增函数

D.在x=2时f(x)取到极小值

分析 本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系.

解 在(-2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x=2的左侧,函数在(-,2)上是增函数,在x=2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x=2时,f(x)取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.

答案 C

4.下列说法正确的是（  ）

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C.对于f(x)=x³+px²+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值

分析 本题主要考查函数的最值与极值的关系,加深对最值与极值概念的理解.

解 函数在闭区间上的极大值与极小值的大小关系不确定;最大值并不一定是极大值,最大值有可能在区间端点处取得;函数在开区间上不一定存在最值;对C选项,f′(x)=3x²+2px+2,其中Δ=4p²-24=4(p²-6),当|p|<时,Δ<0,所以方程f′(x)=0无实根,即不存在导数为零的点.所以函数f(x)无极值.

答案 C

5.若函数f(x)=x³-ax²+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(    )

A.a≥3         B.a=2           C.a≤3             D.0<a<3

分析 本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

解 f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a),由f(x)在（0，2）内单调递减，得3x(x-a)≤0,即a≥2,

∴a≥3.

答案A

6.★若f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函数,则(    )

A.b²-4ac>0                B.b>0,c>0

C.b=0,c>0                D.b²-3ac<0

分析 本题考查导数与函数单调性的关系.

解 f′(x)=3ax²+2bx+c.

要使函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函数,

只需f′(x)>0,即3ax²+2bx+c>0(a>0)对任意x∈R恒成立,

只需(2b)²-4×3ac<0,整理得b²-3ac<0.

答案 D

7.已知函数f(x)=ax³+(2a-1)x²+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为(   )

A.2            B.-2            C.          D.4

分析 某点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件.

解 f′(x)=3ax²+2(2a-1)x.

∵x=-1是y=f(x)的一个极值点,

∴3a×(-1)²+2(2a-1)×(-1)=0.

∴a=2.

答案 A

8.在区间(0,+∞)内，函数y=e^x-x是(    )

A.增函数           B.减函数           C.先增后减           D.先减后增

分析 本题考查利用求导的方法求函数在给定区间上的单调性.

解 ∵y′=e^x-1,又x∈(0,+∞),

∴e^x>1.∴e^x-1>0.∴y′>0.

答案 A

9.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e］上的最大值为(    )

A.1-e        B.-1          C.-e         D.0

分析 本题考查利用求导的方法求函数在闭区间上的最大值.

解 y′=-1,令y′=0,即x=1,在（0，e］上列表如下：

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y′

+

0

-

y

增函数

极大值－１

减函数

１－e

由于f(e)=1-e,而-1＞1-e,从而y_最大=f(1)=-1.

答案 B

10.函数y=x⁵-x³-2x，则下列判断正确的是(   )

A.在区间（-1，1）内函数为增函数

B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数

C.在区间(-∞,1)内函数为减函数

D.在区间(1,+∞)内函数为增函数

分析 本题考查利用导数求函数单调区间的方法以及一元高次不等式的解法.

解 y′=5x⁴-3x²-2=(5x²+2)(x²-1)

=(5x²+2)(x+1)(x-1).

∵5x²+2>0恒成立,

∴当x∈(-1,1)时，y′<0,则f(x)为减函数;

当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时 ，y′>0,则f(x)为增函数.故选D.

答案 D

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.函数f(x)=x³-3x²+7的极大值是        .

分析 本题考查利用求导的方法求函数的极值.

解 f′(x)=3x²-6x.

令f′(x)=0,得x=0或x=2.

作出函数f′(x)=3x²-6x的图象.

因为当x∈(-∞,0)时，f(x)是增函数；当x∈(0,2)时，f(x)是减函数,

所以函数在x=0处有极大值f(0)=7.

答案 7

12.函数y=4x₂+的单调增区间为　　　　　　.

分析 本题考查利用求导的方法求比较复杂的函数的单调区间.对于非常规函数,求导不失为一种好方法.

解 y′=8x-.要求增区间,只需y′>0,即8x->0.

解得x>.

所以函数的单调增区间为(,+∞).

答案 (,+∞)

13.函数y=3x²-2lnx的单调减区间为        .

分析 本题考查常见函数的导数及导数与函数单调性的关系.

解 y′=6x-.

∵6x-<0<0x(3x²-1)<0

x<-或0<x<.

又∵x>0,∴0<x<,

即函数的单调减区间为(0,).

答案 (0,)

14.函数y=x⁴-8x²+2在［-1，3］上的最大值为          .

分析 本题考查函数在闭区间上的最大值.

解法一 在y=(x²-4)²-14中把x²视为一个整体.

∵-1≤x≤3,

∴0≤x²≤9.

∴y_最大=(9-4)²-14=11.

解法二 y′=4x³-16x,令y′=0,

即4x³-16x=0.

解得x=0或x=±2,列表如下：

x

(-1,0)

0

(0,2)

2

(2,3)

y′

+

0

-

0

+

y

增函数

极大值２

减函数

极小值－１４

增函数

又∵f(-1)=-5,f(3)=11,故函数在区间［-1，3］上的最大值为11.

答案　11

15.(本小题满分8分)已知函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax³+bx²+5的单调区间.

分析 本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax³+bx²+5的单调区间.

解 ∵函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上是减函数，

∴a<0,b<0.                   2分

由y=ax³+bx²+5,得y′=3ax²+2bx.

令y′>0，即3ax²+2bx>0,∴<x<0.

因此当x∈(,0)时，函数为增函数;      4分

令y′<0,即3ax²+2bx<0,

∴x<或x>0.                         6分

因此当x∈(-∞,)时，函数为减函数;

x∈(0,+∞)时，函数也为减函数.          ?8分

16.★(本小题满分8分)当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=10⁵+10⁴t-10³t².

(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;

(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?

分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力.

解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,                       2分

b′(t)|_t=5=-2 000×5+10 000=0,

b′(t)|_t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,

即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000.   4分

(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,

由-2 000t+10 000<0,得t>5,                            6分

即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.       8分

17(本小题满分8分)已知a为实数,f(x)=(x²-4)(x-a).

(1)求导数f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.

分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可.

解 (1)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a,

∴f′(x)=3x²-2ax-4.          2分

(2)由f′(-1)=0,得a=.      3分

此时有f(x)=(x²-4)(x-),

∴f′(x)=3x²-x-4.

由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

∴f(x)在［-2,2］上的最大值为,最小值为.       8分

18.★(本小题满分10分)某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?

分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.

解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.         2分

依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］            4分

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                       8分

显然,当x=9时,y_max=864(元),

即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.   10分

解法二 由上面解法得到y=-6x²+108x+378.

求导数,得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.

19.(本小题满分10分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.

解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.      2分

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

当r=2时,f′(r)=0;

当r∈(0,2)时,f′(r)<0;

当r∈(2,6)时,f′(r)>0.      4分

因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.           6分

(1)半径为6 cm时,利润最大.        8分

(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.                        10分