23、如图，DABC是直角三角形，ÐABC=90⁰，AP^平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，

(1)当DE//BC时，求证：直线PB^平面ADE；

(2)当DE^PC时，求证：直线PC^平面ADE；

(3)当AB=BC时，求二面角A-PC-B的大小.

(1)证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD^PB，

∵AP^平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AP^BC，∵AB^BC，∴BC^平面PAB，

∵PBÌ平面PAB，∴BC^PB，

∵DE//BC，∴DE^PB，∴PB^平面ADE. (3¢)

(2)证：∵BC^平面PAB，ADÌ平面PAB，∴BC^AD，

又AD^PB，∴AD^平面PBC，∵PCÌ平面PBC，∴AD^PC，

又DE^PC，∴PC^平面ADE. (6¢)

(3)由(2)可知，当DE^PC时，PC^平面ADE，

∴ÐAED是二面角A-PC-B的平面角. (7¢)

设AP=a，则AB=BC=a，，，(8¢)

∵AD^平面PBC，DEÌ平面PBC，∴AD^DE，

在RtDADE中，可求得，，，(9¢)

∴，∴ÐAED=60⁰，

∴二面角A-PC-B的大小为60⁰. (10¢)

17、　　 2　 　；18、(x+1)²+(y-2)²=4；19、　　 　　；20、　 ①　 ③　 　.

24、已知直线l ：kx-y+1=0，圆C：x²+y²-4x-5=0，

(1)求证：无论k取任何实数，直线l与圆C恒有两个不同的交点；

(2)当k=2时，直线l与圆C相交于A、B，求A、B两点间的距离；

(3)当实数k变化时，求直线l被圆C截得的弦的中点的轨迹方程.

解：(1)由直线l及圆C的方程消去y可得：(1+k²)x²+(2k-4)x-4=0①，(1¢)

∵D=(2k-4)²+16(1+k²)>0，(2¢)

∴对任意实数k，直线l与圆C有两个不同的交点；(3¢)

(2)经配方得，(x-2)²+y²=9，所以，

圆C的圆心C的坐标是(2，0)，半径r=3，所以，当k=2时，

点C到直线l的距离为，(5¢)

故|AB|=；(6¢)

(3)设两交点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，A、B的中点P的坐标分别为(x₀，y₀)，(7¢)则

由①可得，②，(8¢)又由kx₀-y₀+1=0可得③，(9¢)

将③代入②并化简可得，

故所求的轨迹方程为x²+y²-2x-y=0.(10¢)

第一学段模块考试

高一年级数学必修2试卷

高一数学第一模块结业考试试题(第Ⅱ卷)

23、如图，DABC是直角三角形，ÐABC=90⁰，AP^平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，

(1)当DE//BC时，求证：直线PB^平面ADE；

(2)当DE^PC时，求证：直线PC^平面ADE；

(3)当AB=BC时，求二面角A-PC-B的大小.

(1)证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD^PB，

∵AP^平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AP^BC，∵AB^BC，∴BC^平面PAB，

∵PBÌ平面PAB，∴BC^PB，

∵DE//BC，∴DE^PB，∴PB^平面ADE. (3¢)

(2)证：∵BC^平面PAB，ADÌ平面PAB，∴BC^AD，

又AD^PB，∴AD^平面PBC，∵PCÌ平面PBC，

∴AD^PC，

又DE^PC，∴PC^平面ADE. (6¢)

(3)由(2)可知，当DE^PC时，PC^平面ADE，

∴ÐAED是二面角A-PC-B的平面角. (7¢)

设AP=a，则AB=BC=a，，，(8¢)

∵AD^平面PBC，DEÌ平面PBC，∴AD^DE，

在RtDADE中，可求得，，，(9¢)

∴，∴ÐAED=60⁰，

∴二面角A-PC-B的大小为60⁰. (10¢)

22、如图，在长方体AC¢中，已知底面两邻边AB和BC的长分别为3和4，对角线BD¢与平面ABCD所成的角为45⁰，求：

(1)长方体AC¢的高；

(2)长方体AC¢的表面积；

(3)几何体C¢D¢-ABCD的体积.

解：(1)连结BD，∵DD¢^平面ABCD，

∴Ð DBD¢是直线BD¢与平面ABCD所成的角.

∴Ð DBD¢=45⁰，(2¢)∴DD¢= BD，

又AB=3，BC=4，∴DD¢= BD=5，

∴长方体AC¢的高为5.(4¢)

(2)长方体AC¢的表面积S=2(3´4+4´5+5´3)=94(平方单位)(7¢)

(3)几何体C¢D¢-ABCD的体积V=(3´4´5)=30(立方单位). (10¢)

21、已知A(1，0)、B(0，1)、C(-3，-2)三点.

(1)试判断三角形ABC的形状；

(2)求三角形ABC的面积.

解：(1)k_AB=-1，k_BC=1，(2¢)k_AB×k_BC=-1，∴AB^BC，(4¢)

∴三角形ABC是直角三角形. (5¢)

(2)，(8¢)

∴三角形ABC的面积为

(平方单位). (10¢)

20、已知直线a、b及平面a，在下列命题：

①；②；③；④

中，正确的有　 ①　 ③　 　　(只填序号).

19、已知三棱柱ABC-A´B´C´所有的棱长均为2，且侧棱与底面垂直，则该三棱柱的体积是　 　(立方单位)；

18、以点C(-1，2)为圆心且与x轴相切的圆的方程为(x+1)²+(y-2)²=4；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

17、两平行直线4x-3y+3=0和4x-3y-7=0之间的距离为__　　 　2 _____；