(三)解答题

　　 16、空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB的中点，G、H分别是CD和AD上的点，且，求证：EF、FG、BD三条直线交于一点。

17、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l。

　 (1)画出直线l；(2)设l∩A₁B₁=P，求线段PB₁的长。

18、画出满足条件的图形：

α∩β=l，ABα，CDβ，AB∥l，CD∥l。

19、如图，△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，求证：P、Q、R三点共线。

20、已知直线a∥b∥c，l∩a=A，l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C，求证：a，b，c，l四线共面。

该命题可作怎样的推广？

第2讲空间的平行直线和异面直线

(二)填空题

8、不共面的四点可以确定________个平面。

9、一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有________个公共点。

10、如图，平面ABC和平面DEF的交点有________个。

11、P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁上的点(异于B₁、C₁)，则直线A₁P必与棱______所在直线相交。

12、如图为水平放置的△ABC的直观图，由图判定原三角形中AB、BO、BD、OD由小到大的顺序__________。

13、空间三个平面的交线条数为k，则k的可能值是__________。

14、α∩β=BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、DB上的点，若EF∩GH=P，则点P必在直线________上。

15、空间三条直线a，b，c互相平行，但不共面，它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个部分。

(一)　 选择题

1、　 空间四点中“三点共线”是“四点共面”的

A、充分不必要　　 B、必要不充分　

　C、充分且必要　　 D、既不充分也不必要　　

2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：(1)三条直线两两相交；(2)三条直线两两平行；(3)三条直线共点；(4)三条直线有两条平行。其中不正确的个数是

A、　 1个　　 　B、2个　　 C、3个　 　D、4个

3、　 直线a，b，c交于一点，经过这三条直线的平面

A、1个　 B、3个 　C、无数个　 D、可以为0个，可以为1个

4、　 三个平面最多可以把空间分成

A、　 4个部分 B、6个部分 C、7个部分 D、8个部分

　　 5、已知α∩β=l，M∈α，N∈α，P∈β，Pl，MN∩l=R，记过M、N、P三点的平面γ，则β∩γ等于

A、直线MP　 B、直线PR 　C、直线NP 　D、直线MR

6、空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下面结论成立的是

A、四点中必有三点共线　　　　　　　

B、四点中必有三点不共线

C、AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行

D、AB与CD必相交

7、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，过点A、B₁、D₁三点的平面与平面A₁B₁C₁D₁相交于直线l，则点A到直线l的距离为

A、　　 　B、 　　C、　　 D、

例1、用符号语言写出下列图形应满足的条件

　 图(1)　　　　　　　　　 图(2)

分析；根据图形，准确　 地想象点、线、面这些基本元素的关系，然后用集合的符号语言表示出来。书写的规律一般是：先平面再直线，最后为点。

在(1)中：平面α∩平面β=l，a∩α=A，b∩α=B

在(2)中：α∩β=l，aα，bβ，a∩l=P, b∩l=P，c∥l。

例2、作出满足下列条件的图形：

　　 　　图(1)　　　　　　 　图(2)

(1)　 α∩β=AB，aα，bβ，a∥AB，b∩AB=M；

(2)　 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD中心，A₁C∩平面C₁BD=M，求作点M。　

分析：(1)作图的顺序与读图的顺序相同，先平面再直线再到点。如图(1)

　 (2)设法把点M放到某两个平面的交线上，∵M∈A₁C，A₁C平面AA₁C₁C(由AA₁∥C₁C，A₁A，CC₁是可以确定一个平面的)，∴M∈平面AA₁C₁C。又M∈平面C₁BD，∴M为平面AA₁C₁C与平面C₁BD的公共点。观察图象可知，C₁、O也为上述两个平面的公共点，即平面AA₁C₁C∩平面C₁BD=C₁O。∵M∈C₁O，又M∈A₁C，∴C₁O∩A₁C=M，即平面AA₁C₁C₁内，两直线C₁O与A₁C的公共点就是所求作的点M。

评注：题(2)首先体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。其次，将直线A₁C放在平面AA₁C₁C内思考，这是处理直线典型的一种思考方法。借助于平面AA₁C₁C，点M的位置就越来越具体了。这种类似于平面几何辅助直线的平面，称之为辅助平面。在研究空间图形时，经常要作这样的辅助平面。进一步研究M点性质，还可发现M为A₁C的三等分点，M是△C₁BD的重心(中心)。　　

例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面。

分析：以文字语言出现的几何证明题，首先要“翻译”为符号语言写成已知、求证的形式，并辅之以正确的图形，然后再进行证明。

已知：四条直线a，b，c，d两两相交，不过同一点。

求证：a，b，c，d共面。

在正确分析四条直线位置关系时，可利用逐步添加的方法。当在两条直线上添加第三条直线时，可以发现存在下列两种位置关系；三线共点和三线不共点。因此本题需分两种情况证明：

(1)　 当存在三线共点时，如右图：

　设a，b，c共点于Q，d∩a=M，d∩b=N，d∩c=Q

　∵ a∩b=P

　∴ a，b可确定平面α

∵ M∈a，N∈b

∴ M∈α，N∈α

∵ M∈d，N∈d

∴ dα

∴ Q∈α

又P∈c，Q∈c

∴ cα　　　

∴ a，b，c，d共面于α。

(2)　 任何三条直线都不共点时

　∵ a，b，c，d两两不相交且不过同一点

∴ a，b，c，d可确定平面α

设d∩a=N，d∩b=M

则M∈α，N∈α

又N∈d，M∈d

∴ dα

∴ a，b，c，d共面于α。

评注：在证明几何问题，一忌用直观代替严谨的逻辑证明，如直接看图得出结论。因为直观图仅仅是直观，是对空间真实位置关系的某种“歪曲”反映，看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步，在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导。三忌程序混乱，不知道应该先说什么，再说什么。当然，还有符号、语言的准确性等等。

4．　 方程|x|+|y－1|＝2所表示的直线而构成的图形的面积为_____________

3．已知，则与的大小关系是

　　　　 　。

2.　 点(1,cosθ)到直线xsinθ+ycosθ＝1的距离是(0≤θ≤π)，则θ＝_______

1.　 已知则的范围　　　　　　　 　。

　(1)下列说法不正确的是(　　 )若则

　　　 　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

(2)下列说法中正确的有(　 　 )个

　　　　　　　 A．1个　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　 D．4个

　　　　　　　 Ⅰ　　　　　　　　 Ⅱ

　　　　　　　 Ⅲ　　　　　　　　　　　 Ⅳ

　 (3)直线kx－y+1＝3k,当k变动时，所有直线都通过定点(　 )

　　　 (A)(0，0)　　 (B)(0，1)　　 (C)(3，1)　　 (D)(2，1)

　 (4)直线l₁:x－y+－1＝0绕着它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°，则旋转后的直线l₂的方程为(　 )

　　　 (A)x－y+1＝0　 (B)3x－y＝0　 (C)x+y+1＝0　 (D)3x－y－1＝0

　 (5)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不通过(　 )

　　 　　(A)第一象限　　 (B)第二象限　 (C)第三象限　　 (D)第四象限

　 (6)直线2x+3y－6＝0关于直线x＝0对称的直线方程为(　 )

(A)　 2x－3y－6＝0　 (B)2x－3y+6＝0　 (C)2x+3y+6＝0　 (D)2x+3y－6＝0

(7)给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y (a>0)取得最大值的最优解有无穷个，则a的值为(　 ). 　　　　　　　　　 　 　 A、 　 B、 　 C、4　 D、 　

　 (8)不等式的解是

　　　　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不对

　 (9)直线(2m²+m－2)x+(m²－m)y+4m－1＝0与直线2x－3y＝5平行，则m＝(　 )

　 　　(A)　　　　 (B)2　　 　　(C)2或　　　　 (D)1或

　 (10) 已知

　　　　　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．

　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

　 (11)如果直线经过两直线2x－3y+1＝0和3x－y－2＝0的交点，且与直线y＝x垂直，则原点到直线l的距离是(　 )

　 　　(A)2　　　　 (B)1　　　 (C)　　　　　 (D)2

(12)已知两点A(1,3),B(－1－5)，在直线2x+3y+1＝0上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点的坐标是(　 )

　 　　(A)　　 (B)　 (C)(2,－1)　　　 (D)(5,0)