(一)　　　 选择题

1、　 给出下列命题：

　　 ①若点(x，y，z)在xoy平面内，则z=0

②若点(x，y，z)在yoz平面内，则x=0

③若点(x，y，z)在zox平面内，则y=0

④若点(x，y，z)在y轴上，则y≠0

其中正确的命题个数是：

A、1　　　　　 B、2　　　　　　 C、3　　　　　　 D、4

2、　 下列命题错误的是；

A、　 点(x，y，z)关于xoy平面的对称点是(x，y，-z)

B、　 点(x，y，z)关于yoz平面的对称点是(-x，y，z)

C、　 点(x，y，z)关于zox平面的对称点是(x，-y，z)

D、　 点(x，y，z)关于原点的对称点是(-x，-y，z)

　　 3、已知=(2，-1，3)，=(-4，2，x)，若与夹角是钝角，则x取值范围是

A、(-∞，)　　 B、(-∞，2)　　 C、(，+∞)　　 D、(-∞，)

4、棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是：

A、　 　　　　　　B、　　　　　 C、　　　　　　 D、

　　 5、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁和BB₁的中点，则DM与D₁N所成角的余弦值是

A、　 　　　　　B、　　　　　 C、　　　　　 D、

　　 例1、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁A、B₁B的中点，求直线CM与D₁N所成角的余弦值。

解题思路分析；

首先建立坐标系，设正方体棱长为1，取=， =， =，以，，为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz。

其次，求出相关点的坐标，即C、M、D₁、N四点坐标。C(0，1，0)，D₁(0，0，1)，M(1，0，)，N(1，1，)

在其基础上求出有关向量的坐标。

=(1，-1，)，=(1，1，-)

再次，利用向量夹角公式求出与的夹角

cos<,>=(·)/(||·||)=

最后，回到立体问题中去，同时注意向量概念与立体几何概念之间的差异。

∵ cos<,><0

∴ <,>是异面直线CM与D₁N所成角的补角

∴ 异面直线CM与D₁N所成角余弦值为

例2、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD中点，

(1)　 求证：AE⊥D₁F

(2)　 求证：D₁F⊥平面ADE

(3)　 求异面直线EF与BD₁所成的角

解题思路分析：

设正方体棱长为1，取，=，=，以，，为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz

则D₁(0，0，1)，F=(0，，0)，A(1，0，0)，E(1，1，)

∴ =(0，1，)，=(0，，-1)

∵ ·=0×0+1××1=0

∴ ⊥，AE⊥D₁F

　 (2)只要再证D₁F⊥AD，即·=0即可

∵ =(-1，0，0)

∴ ·=-1×0+0×-0×1=0

∴ ⊥，AD⊥D₁F

又由(1)AE⊥D₁F，AD∩AE=A

∴ D₁F⊥平面ADE

(4)　 利用夹角公式，分别求出·，||，||即可

　　 =(-1，-，-)，=(-1，-1，1)

∴ ·=1+=1

　 ||=，||=

∴ cos<,>=(·)/(||·||)=

∴ <,>=arccos

∴ 异面直线EF与BD₁所成的角为arccos

例3、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC中点，P是CC₁中点

(1)　 求证：BD₁∥平面C₁DE；

(2)　 求证：EC₁⊥平面A₁B₁P。

解题思路分析：

　 (1)翻译为向量语言，就是把表示为平面C₁DE中某两个向量的线性组合，例如证明与及共面

如图建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D₁(0，0，1)，E(，1，0)

∴ =(-1，-1，1)，，1，0)，=(0，1，1)

∵ =

∴ 与，共面

∵ BD₁平面DEC₁

∴ BD₁∥平面DEC₁

　 (2)只需证EC₁与平面A₁B₁P中某两条直线垂直，即与平面A₁B₁P中某两个向量的数量积为0

∵ B₁(1，1，1)，P(0，1，)

∴ =(-1，0，)

∵ =(，0，1)

∴ ·=0

∴ ⊥，B₁P⊥EC₁　　 ①

又 =(0，1，0)

　 ·=0

∴ ⊥，A₁B₁⊥EC₁　 ②

由①②得，A₁B₁∩B₁P=B₁

∴ EC₁⊥平面A­₁B₁P

例4、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M、N分别在A₁B、B₁D₁上，且A₁M=A₁B，B₁N=B₁D₁，

(1)　 求证：MN是A₁B和B₁D₁的公垂线；

(2)　 求异面直线A₁B与B₁D₁间的距离。

解题思路分析：

如图建立空间直角坐标系

只需证：·=0，·=0

∵ A₁(1，0，1)，B(1，1，0)

∴ =(0，1，-1)

同理，=(-1，-1，0)

又M(1，)，N(，1)

∴ =()

∵ ·=0，·=0

∴ ⊥，⊥

∴ MN⊥A₁B₁，MN⊥B₁D₁

又MN与A₁B，B₁D₁分别相交

∴ MN是A₁B和B₁D₁的公垂线

(3)　 d_M，N=

∴ MN=，即异面直线A₁B与B₁D₁之间的距离是

例5、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD交点，M为D₁D中点

(1)　 求证：B₁O⊥平面MAC

(2)　 求异面直线B₁O与D₁C所成角的大小

解题思路分析：

如图建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C₁(0，1，1)，O(，0)，B₁(1，1，1)，M(0，0，)

则=()，=(1，0，)，=(0，1，)

∴ ·==0

　 ·==0

∴ ⊥，⊥

即 B₁O⊥MA，B₁O⊥MC

又MA∩MC=M

∴ B₁O⊥平面MAC

　 (2)∵ =(0，1，-1)，

∴ ·=，||=，||=

∴ cos<，>=(·)/(||·||)=

∴ <，>=arccos

∴ 异面直线D₁C与B₁O所成的角为arccos

注：由上面数例可以看出：①用向量解决立体几何问题，重在算，技能要求稍高，但难度上比传统几何的逻辑思维及空间想象低得多，几乎也不不需要特殊的技巧；所以向量方法可以说是一种“程序化”的方法；②在右手直角坐标系建立后，如何求出点的坐标进而求出向量的坐标是向量法的基础，也是关键，因为下面的运算就是建立在坐标之上的。在这里，需要一定的空间想象能力，能够正确地进行投影(分解)；③通常用向量夹角公式证明几何的角及垂直问题；用向量距离公式求线段长度；用数乘向量证明共线(共面)问题。

(三)　　　 解答题

11、平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，，，P，M，N分别是CA₁，CD₁，C₁D₁的中点，点Q在CA₁上，CQ∶QA₁=4∶1，试用基底{，，}表示以下向量：，，，。

12、已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H分别是OA，OB，CB，CA的中点，求证：EFGH是矩形。

13、空间四边形OABC的各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点

(1)　 求证：DE是OA，BC的公垂线；

(2)　 求OA与BC间的距离。

14、四面体ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分别为AC、BD的中点，求证：PQ⊥AC，PQ⊥BD。

15、O、G分别为四面体ABCD的外接球球心和重心，求证：OG²=R²-(AB²+AC²+AD²+BC²+CD²+BD²)，其中R为外接球半径。

第6讲斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角

(二)　　　 填空题

　　 5、如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。

　　 6、平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，+=____________ 。

7、在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAD=90⁰，∠BAA₁=∠DAA₁=60⁰，则A₁C等于____________。

8、已知G为△ABC的重心，O为空间任意一点，则用，，表示为____________。

9、正方体ABCD-A₁B­₁C₁D₁中，E，F分别是上底面A₁B₁C₁D₁和侧面CDD₁C₁的中心，如果+x+y，则x=__________，y=­­­­­­­­__________。

10、空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，，，则用，，表示的结果是____________。

(一)选择题

1、　 对空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是

A、=λ　　　 B、=λ　　　 C、=　　　 D、=-

2、　 下列命题正确的是

A、　 如果向量，与任何向量不能构成空间的基底，那么，不共线

　　 B、如果，，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底

　　 C、若，，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面

D、空间中的基底只有有限个

3、在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则(+)等于

A、　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　 D、

4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么下列运算结果为正值的是

A、　 ·　　 B、·　　 C、·　　 D、·

例1、　　 空间四边形ABCD中，E为AD中点，F为B台点，求证：(+)。

解题思路分析：

法一：利用多边形法则，找出与有关向量的等量关系，再对相关向量进行变换，达到题目要求。

例如：=++，=++

∴ 2=+++++

∵ E，F分别为AD，BC中点

∴与为相反向量，+=

同理，+=

∴ 2=+，(+)

法二：构造基本三角形，利用加法定理

例如：取AC中点G，则EGDC，，FGAB，

∴=+=+=(+)

法三：选择适当基底，把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算

例如：选基底{，，}

则，=(+)

∴ =-=(+-)

　　　 =(+)

说明：基底的选法是不唯一的。本题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法。还有一种常用选法是在空 间任取一点O，以从点O出发的三条不共面的向量为基底。

例2、已知向量{，，}中选哪一个向量，一定可以与向量=+，=-，构成空间的另一个基底？

解题思路分析：由空间向量基本定理可知，空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底

∵ +， -与，构成平行四边形

∴ +， -， ，一定共面

∴　 与不能与+，-构成基底

∴ 与+，-可以构成空间的一个基底

例3、平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，=，=，=，M，N，P，Q分别是A₁D₁，CC₁，BC，A₁D的中点，用基底{，，}表示以下向量：

　 (1)　 (2)　 (3)

解题思路分析：

利用多边形法则，或构造若干个相关的三角形

　 (1)=++=++

　　　　 　　=++

或者：

　　 =+=+++

　 (2)=()-)

　　　　　　 =-)

　　　　　　 =)=-

　 (3)()

　　　　　　 =

　　　　　　 =++--=++

说明：用基向量的线性组合去表示相关向量，是用向量知识研究几何问题的基础。在寻找线性组合的过程中，主要是以向量为边构造三角形或多边形(包括平行四边形)。

若M为中点，则()是经常用到的重要公式。

例4、四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。

解题思路分析：

首先将几何语言“翻译”为向量语言，即已知·=0，·=0，求证：·=0

其次，选择适当的基底，沟通已知向量与未知向量之间的关系

例如：途径一：选基底{，，}，设=，，，则：

=-，-，-

∵ ·

∴ ·(-)=0

∴ ·-·=0　　 ①

∵ ·

∴ ·(-)=0

∴·-·=0　　 ②

①-②得：·-·=0

∴ ·(-)=0

∴ ·

∴ AD⊥BC

途径二：任取空间一点O，其基底{，，}

设，，

则=-，-

=-

再设

则-，-，-

∵ ·

∴(-)·(-)=0

∴ ·-·-·+·=0　 ①

∵ ·

∴ ·-·-·+·=0　 ②

①-②得：

　 ·-·+·-·=0

∴ ·(-)-·(-)=0

∴(-)·(-)=0

∴ ·=0

∴　 CB⊥AD

说明：由上述两种选基底的方法可知，由于基底的选择不同，向量运算的简繁程度也有所差异，因此，应学会选择适当的基底。

例5、P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分别在PA、BD上，且

(1)　 求证：MN∥平面PBC

(2)　 求证：MN⊥AD

(3)　 求MN与PC所成角的大小

解题思路分析：

　 (1)根据共面向量定理，只需证明可以表示为、、中任两个向量的线性组合，为此，必须选基底，再利用三角形法则，利用基底找到上述向量之间的线性关系。取基底{，，}，设，=，，则，-，-

　　 ∴ +-2

∴ ++(++)

　

∴ (+)=+

∴ 与，共面

∴ 平面PBC

∴ MN∥平面PBC

　 (2)只需证·，-

∵ ·(+)·(-)=(-)=(|-)=0

∴ ⊥，MN⊥AD

(4)　 利用数量积公式的变形

　∵ ·=||·|| cos<,>

∴ cos<，>=(·)/(||·||)

∵ (+)²=(++2·)

　 ·=||||cos<,>=m²cos

∴ (m²+m²+m²)=

∴ ||=

又∵ ·(+)·=(·+)

　　　　　　 =

∴ cos<，>=(·)/(||·||)=

∵ <，>∈[0，π]

∴ <，>=30⁰

∴ MN与PC成30⁰角

说明：由本例可以看出，用向量解决几何问题，重在问题运算，降低了对空间图形抽象思维的要求，显得简单，易于上手。

例6、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD。

解题思路分析：　

只需证与、、中任意两个向量的数量积等于0

选基底{，，}，设，，

则=+，

　 (+)=(++)

∴ -(++)=--

∵ PA⊥平面ABCD

∴ PA⊥AB，PA⊥AD

∴ ·=0，·=0

又AB⊥AD

∴ ·=0

∴ ·(--)·(-)=·+·=0

　 ·-(+)·(-)=-(-)=-(|-)=0

∴ MN⊥CD，MN⊥PD

又MCD∩PD=D

∴ MN⊥平面PCD

说明：通过上述两例可以知道，三角形法则或多边形法则是向量运算的基础，因为用基底正确表示出相关向量是解决问题的关键一步。

(三)解答题

16、四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。

17、Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=3，BC=4，PC⊥平面ABC，PC=，求点P到直线AB的距离。

18、若直角ABC的一边BC平行于平面α，另一边AB与平面α斜交，求证：∠ABC在平面α上的射影仍是直角。

19、空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，若∠BAC≠90⁰，求证：A在平面PBC上的射影A’不可能是△PBC的垂心。

20、A是△ABC所在平面外一点，∠ABD=∠ACD=90⁰，AB=AC，E是BC中点，求证：(1)AD⊥BC；(2)△AED是钝角三角形。

第5讲空间向量及其运算

(二)填空题

11、PO⊥平面AOB，∠AOB=90⁰，AB=a，∠PAO=∠PBO=α，

C是AB中点，则PC=__________。

12、若a∥b，a⊥α，则b______α；若a⊥b，a⊥α，则b______α。

13、空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，若BD=5，AC=4，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，则MNPQ的面积是__________。

14、△ABC中，∠ACB=90⁰，P是平面ABC外一点，PA=PB=PC，若AC=12，P到平面ABC的距离为8，则P到BC的距离等于__________。

15、正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC，D为垂足，沿AD将△ABC折起，使∠BDC=90⁰，则B到AB的距离为__________。

(一)　 选择题

1、　 空间四边形ABCFD的四边相等，则它的对角线AC与BD的关系是

A、　 垂直相交　　　　　　　　　　　 B、相交但不一定垂直　　

C、垂直但不相交　　　　　　　　　 D、不垂直不相交

2、　 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=1，则P到对角线BD的距离为

A、　 　　　　　B、　　　　　 C、　　　　　 D、

3、　 △ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是

A、　 　　　　　　B、　　　　 C、　　　　 D、

　　 4、P是△ABC所在平面α外一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α，O为垂足，O在△ABC内部，则O是△ABC的

A、　 外心　　　　　 B、内心　　　　 C、垂心　　　　　 D、重心

　　 5、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到ABCD四边距离相等，则ABCD一定是

A、菱形　　　　　 B、矩形　　　　 C、正方形　　　　 D、以上都不是

6、异面直线在同一平面上的射影不可能是

A、两平行直线　　 B、同一直线　　 C、两相交直线　　 D、一点与一直线

7从平面外一点P引与α相交的直线，使点P与交点的距离等于1，则满足条件 直线条数一定不可能是

A、0条　 　　　　B、1条　　　　 C、2条　　　　　 D、无数条

8、已知PH⊥α，H为垂足，HEα，EFα，HE⊥EF，连PE、PF、HF，则图中直角三角形的个数是

A、1个　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　　 D、4个

9、已知PE垂直于⊙O所在平面，EF是⊙O的直径，点G为圆周上异于E、F的任一点，则下列结论不正确的是

A、FG⊥平面PEG　 B、PG⊥FG　　　　 C、EG⊥PF　　　　　 D、PE⊥GF

10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=60⁰，PA=a，PA在平面∠BPC上的射影为PO，则cos∠APO等于

A、　　　　　　 B、　　　　 C、　　　　　　 D、

　 　例1、已知MN⊥a，MN⊥b，a、b为异面直线，a∥α，b∥α，

求证：MN⊥α。

分析：只要将a、b平移到α内去即可。设MN∩α=0，设a与O确定的平面交α于a’，则由线面平行的性质定理a∥a’

设b与O确定的平面交α于b’，则b∥b’

∵ MN⊥a，a’∥a

∴ MN⊥a’

同理：MN⊥b’

∵ a’∩b’=0，a’α，b’α

∴ MN⊥α

例2、(1)P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC。

　 (2)P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H为垂足，求证：H为垂心。

分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手

　 (1)∵ PA⊥PB，PA⊥PC

∴ PA⊥平面PBC

∴ PA⊥BC

∵ H为△ABC垂心

∴ BC⊥AH

∵ PA∩AH=A

∴ BC⊥平面PAH

∴ BC⊥PH

同理：AB⊥PH

∵ AB∩BC=B

∴ PH⊥平面ABC

　 (2)由(1)得：PA⊥BC

∵ PH⊥平面ABC

∴ AH为PA在平面ABC上的射影

∵ BC平面ABC，BC⊥PA

∴ BC⊥AH

同理：AB⊥CH

∴ H为△ABC垂心

注：本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题。在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下，P在平面ABC上的射影与△ABC的垂心为同一点。

例3、已知aα，a⊥b，b⊥α，求证：a∥α。

分析：设法构造经过直线a的辅助平面β，使得β与α相交，则只要证明a平行于交线即可。

∵ b⊥α

∴ b垂直于α内任一条直线

又 a⊥b

由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行”，从把a、b转移到同一平面内着手。

任取点A∈a，过A作b’∥b，设b’∩ α=B，则b’⊥ α(请同学们思考如何证明)

设由a，b’确定的平面β交α于c，则b’⊥c

∵ a⊥b，b’∥b

∴ b’⊥a

∵ a，b’，c均在平面β内

∴ a∥c

∴ a∥α

例4、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

(1)　 求证：A₁C⊥BD，A₁C⊥C₁D，A₁C⊥B₁A；

(2)　 求证：A₁C⊥平面BDC₁；

(3)　 设O是正方形BCC₁B₁的中心，求证：BC₁⊥DO。

分析：(1)本题中的三组线线垂直都是异面垂直，若用定义证明，则繁顼。考虑用三垂线定理及逆定理。

在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，由每一个面都是正方形，利用线面垂直的判定定理，易证：AA₁、BB₁、CC₁、D₁D都与平面ABCD及平面A₁B₁C₁D₁垂直；AB、DC、A₁B₁、D₁C₁都与平面BB₁C₁C、平面AA₁D₁D垂直；A₁D₁、AD、B₁C₁、BC都与平面AA₁B₁B、平面CC₁D₁D垂直。这些垂直关系应熟记，可直接作为结论使用。

∵ A₁A⊥平面ABCD

∴ AC为A₁C在平面ABCD上的射影

∵ BD⊥AC，BD平面ABCD

∴ BD⊥A₁C

在这里选取基本平面为ABCD

同理，选取平面CC₁D₁D为基本平面，证A₁C⊥C₁D

选取AA₁B₁B为基本平面，证A₁C⊥B₁A

　 (2)由(1)，A₁C⊥BD，A₁C⊥C₁D

∵ BD∩C₁D=D

∴ A₁C⊥平面BDC₁

　 (3)∵ DC⊥平面BB₁C₁C

∴ OC为DO在平面BB₁C₁C上的射影

∵ BC₁平面BB₁C₁C，BC₁⊥OC

∴ BC₁⊥DO

注：在垂直关系的证明中，应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想。三垂线定理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法。

例5、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AA₁中点，P为正方形A₁B₁C₁D₁的中心

(1)　 求证：MP⊥B₁C；

(2)　 线段A₁B₁上的点N满足A₁N=NB₁，求证：MN⊥MC。

分析：(1)法一：直接利用三垂线定理，选平面BB₁C₁C为基本面。找MP在平面BB₁C₁C上的射影。

作MM₁∥A₁B₁交BB₁于点M₁

作PP₁∥A₁B₁交B₁C₁于点P₁

则MM₁⊥平面BB₁C₁C，PP₁⊥平面BB₁C₁C

∴ M₁P₁为MP在平面BB₁C₁C上的射影

∵ M为AA₁中点，P为A₁C₁中点

∴ M₁、P₁分别为BB₁、B₁C₁的中点

∴ M₁P₁∥BC₁

又 BC₁⊥B₁C

∴ M₁P₁⊥B₁C

由三垂线定理：MP⊥B₁C

法二：把MP平移，转化利用三垂线定理

矩形AA₁C₁C中，M、P分别为AA₁、A₁C₁的中点

∴ MP∥AC₁

由上题知AC₁⊥B₁C

∴ MP⊥B₁C

　 (2)选平面AA₁B₁B为基本面

∵ CB⊥平面AA₁B₁B

∴ BM为CM在平面AA₁B₁B上的射影

下面只要证明BM⊥MN即可

∵ BM与MN在同一平面内

∴ 利用勾股定理

设正方体棱长为a，则BM₂=AB²+AM²=a²+

MN²=MA₁²+A₁N²=

BN²=BB₁²+B₁N²=

∵ BM²+MN²=BN²

∴ BM⊥MN

∴ MC⊥MN

注：利用勾股定理证明线线垂直，体现了数量关系与位置关系的联系。