3. 两等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和的比，则的值是( B )

A．　　 B．　 C． 　D．

2.等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为(　 C )

A.130　 　 B.170 　　 　C.210　 　　　 D.260

1. 已知在等差数列{a_n}中，a₁＜0，S₂₅＝S₄₅，若S_n最小，则n为(　 B )

A.25　　　 　　 B.35　　 C.36　　 　　 D.45　

3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由

≥0，且≤0，求得n的值

当<0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且≥0，求得n的值

(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值

[精典范例]

[例1]已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。

分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。

[解] ，，

。

[例2]已知两个等差数列{a_n}、{b_n}，它们的前n项和分别是S_n、S_n′，若,求.

[解法一] ∵2a₉=a₁+a₁₇,

2b₉=b₁+b₁₇,∴S₁₇==17a₉,

S₁₇′==17b₉,∴.

[解法二] ∵{a_n}、{b_n}是等差数列，∴可设S_n=An²+Bn,S_n′=A’n²+B′

n(A、B、A′、B′∈R),∵,　

进而可设S_n=(2n²+3n)t,

S_n′=(3n²－n)t(t∈R,t≠0),∴a_n=S_n－S_n－1=(2n²+3n)t－［2(n－1)²+3(n－1)t］=(4n+1)t,

∴a₉＝37t.

同理可得b_n=S_n′－S_n－1′=(3n²－n)t－［3(n－1)²－(n－1)］t　=(6n－4)t,

∴b₉=50t,∴.

[例3]数列{a_n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.

(1)求数列的公差.

(2)求前n项和S_n的最大值.

(3)当S_n＞0时，求n的最大值.

[解] (1)由已知a₆=a₁+5d=23+5d＞0,a₇=a₁+6d=23+6d＜0,

解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4

(2)∵d＜0，∴{a_n}是递减数列，又a₆＞0，a₇＜0∴当n=6时，S_n取得最大值，S₆=6×23+ (－4)=78

(3)S_n=23n+ (－4)＞0，整理得：　n(50－4n)＞0　∴0＜n＜,又n∈N*,

所求n的最大值为12.

点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{a_n}的前n项和取到最大值.

[例4]等差数列中，该数列的前多少项和最小？

思路1：

求出的函数解析式(n的二次函数, )，再求函数取得最小值时的n值.

思路2：

公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：

思路3：

由s₉=s₁₂得s₁₂-s₉=a₁₀+a₁₁+a₁₂=0得a₁₁=0.

思维点拔：

说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：

①当时，，

则最小；

②当时，，

则最大；

③当时，，

则最小；

④当时，

，

则最大

[追踪训练一]

2.在等差数列{a_n}中，若a₁＞0，d＜0，则S_n存在最大值.若a₁＜0,d＞0，则S_n存在最小值.

1. 等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，那么数列S_k，S_2k－S_k，S_3k－S_2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k²d.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

[自学评价]

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

4. 一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.

[解]

[答案]前项的和为225

3.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n+5,则a₆+a₇+a₈=__45____.