3. 设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. |
B. |
C. |
D. [来源:学.科.网] |
2. 若函数的图像恒过定点,则定点的坐标为 ( )
A. |
B. |
C. |
D. |
1. 若,,则 满足 ( )
A. |
B. |
C. |
D. |
20、(13分)已知椭圆经过点,过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于两点,当动直线L的斜率为2时,坐标原点O到L的距离为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于两点,且,当四边形的面积S=时,求直线L的方程.
解:(Ⅰ)设F(c,0),则直线L的方程为2x-y-2c=0,∵坐标原点O到L的距离为,
∴,c=1。………………………………………………………2分
∵椭圆经过点,∴,b=1,由得。
∴椭圆的方程为 ……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线L过点F(1,0),设其方程为y=k(x-1)(),点A(),C(),
解得,。
∴,……………………………………………6分
=……………………………8分
∵过F的另一直线交椭圆于两点,且, ,
∴直线BD的方程为y=(x-1) 。
把式中k换成,类比可得,…………………………10分
∴四边形的面积, …………11分
解得, ∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 。 ………………………13分
19、(14分)已知函数f(x)=在x=-2处有极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求b的取值范围。
解: (Ⅰ) …………………………………………1分
由题意知: ,得a=-1,………………………2分
∴,
令,得x<-2或x>0, ………………………4分
令,得-2<x<0, ………………………5分
∴f(x)的单调递增区间是(-¥,-2)和(0,+¥),
单调递减区间是(-2,0)。…………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= ,
f(-2)=为函数f(x)极大值,f(0)=b为极小值。…………………8分
∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,
∴或或或或 ,
即 ,…………………………………………………………13分
∴,即b的取值范围是。 …………………14分
18、(14分)已知数列的前n项和为,,,等差数列中,,且,又、、成等比数列.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和Tn.
解:(Ⅰ)∵,,
∴,
∴,
∴,
∴ …………………………3分
而,∴
∴数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴ …………………………5分
∴,
在等差数列中,∵,∴。
又因、、成等比数列,设等差数列的公差为d,
∴() ………………………………7分
解得d=-10,或d=2, ∵,∴舍去d=-10,取d=2, ∴b1=3,
∴bn=2n+1, ………………………………9分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
∴
=(
=
= ………………………………14分
17、(14分)设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为和组成数对(,并构成函数.
(Ⅰ)写出所有可能的数对(,并计算,且的概率;
(Ⅱ)求函数在区间[上是增函数的概率.
解: (Ⅰ)所有基本事件如下:
(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ,共有15个。………………………………4分
设事件“,且”为A,
则事件A包含的基本事件有8个, ………………………………… 6分
所以P(A)=。 ……………………………………………8分
(Ⅱ)设事件“在区间上为增函数”为B,
因函数的图象的对称轴为 且>0,
所以要使事件B发生,只需。…………………………10分
由满足题意的数对有(1,-1)、(2,-1)、(2,1)、(3,-1)、(3,1),共5个,
…………………………12分
所以,P(B)= . …………………………14分
16、(13分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)证明:直线.
证明:(Ⅰ)∵ABCD是菱形,
∴BD^AC, ………………………………1分
∵,∴BD^SA, ……………2分
∵SA与AC交于A,
∴BD^平面SAC, …………………………………4分
∵平面
∴平面平面 …………………6分
(Ⅱ)取SB中点E,连接ME,CE,
∵M为SA中点,∴MEAB且ME=AB, ………8分
又∵是菱形,N为的中点,
∴CNAB且CN=CD=AB, …………………10分
∴CNEM,且CN=EM,
∴四边形CNME是平行四边形,
∴MNCE, …………………12分
又MNË平面SBC, CEÌ平面SBC,
∴直线 …………………13分
15、(12分)已知函数f(x)=(其中A>0,)的图象如图所示。
(Ⅰ)求A,w及j的值;
(Ⅱ)若tana=2,求的值。
解:(Ⅰ)由图知A=2, ……………………1分
T=2()=p,
∴w=2, ……………………3分
∴f(x)=2sin(2x+j)
又∵=2sin(+j)=2,
∴sin(+j)=1,
∴+j=,j=+,(kÎZ)
∵,∴j= ……………………6分
由(Ⅰ)知:f(x)=2sin(2x+),
∴=2sin(2a+)=2cos2a=4cos2a-2…………9分
∵tana=2, ∴sina=2cosa,
又∵sin2a+cos2a=1, ∴cos2a=,
∴= ……………………12分
9、1 ; 10、 ; 11、x-2y-2=0 ; 12、 ; 13、6 ; 14、 [-2,0]。
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