3.(2005年启东市第二次调研)设P₁(，)、P₂(－，－)，M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP₂|－|MP₁|=2；②以线段MP₁为直径的圆与圆x²+y²=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP₁|.其中所有正确命题的序号是____________.

解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP₁|可知正确.

答案：①②③

2.已知F₁(－3，0)、F₂(3，0)是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F₁PF₂＝时，△F₁PF₂的面积最大，则有

A.m=12，n=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.m=24，n=6

C.m=6，n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 D.m=12，n=6

解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.

答案：A

1.(2005年北京东城区目标检测)以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为

A.　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 D.

解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.

答案：D

5.(2004年春季北京)若直线mx+ny－3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以(m，n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.

解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x²+y²=3，消去x，得

(m²+n²)y²－6ny+9－3m²=0.

令Δ<0得m²+n²<3.

又m、n不同时为零，

∴0<m²+n²<3.

由0<m²+n²<3，可知|n|<，|m|<，

再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.

答案：0<m²+n²<3　 2

●典例剖析

[例1] (2005年春季北京，18)如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0，b≠0)，且交抛物线y²=2px(p>0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点.

(1)写出直线l的截距式方程；

(2)证明：+=；

(3)当a=2p时，求∠MON的大小.

剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y²=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由k_OM·k_ON=－1求得∠MON=90°.

(1)解：直线l的截距式方程为+=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

(2)证明：由①及y²=2px消去x可得by²+2pay－2pab=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

点M、N的纵坐标y₁、y₂为②的两个根，故y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa.

所以+===.

(3)解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，

则k₁=，k₂=.

当a=2p时，由(2)知，y₁y₂=－2pa=－4p²，

由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得(y₁y₂)²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂===－1.

所以OM⊥ON，即∠MON=90°.

评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

[例2] (2005年黄冈高三调研考题)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，双曲线－=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如下图)

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当=λ时，求λ的最大值.

剖析：(1)求椭圆方程即求a、b的值，由l₁与l₂的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a²+b²=4，进而可求得a、b.

(2)由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程.将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.

解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又<1，

∴∠POx=30°，即=tan30°=.

∴a=b.

又a²+b²=4，

∴a²=3，b²=1.

故椭圆C的方程为+y²=1.

(2)由已知l：y=(x－c)，与y=x解得P(，)，

由=λ得A(，).

将A点坐标代入椭圆方程得

(c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c².

∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)².

∴λ²==－［(2－e²)+］+3≤3－2.

∴λ的最大值为－1.

评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.

[例3] 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

剖析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x²+4y²=4b²，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定.

由e²===1－()²可知===，即a=2b.

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d²=x²+(y－)²=a²(1－)+y²－3y+= 4b²－3y²－3y+=－3(y+)²+4b²+3，其中－b≤y≤b.

如果b＜，则当y=－b时d²(从而d)有最大值，由题设得()²=(b+)²，由此得b=－＞，与b＜矛盾.

因此必有b≥成立，于是当y=－时d²(从而d)有最大值，由题设得()²=4b²+3，由此可得b=1，a=2.

故所求椭圆的直角坐标方程是+y²=1.

由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是.

解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，

x=acosθ，

y=bsinθ，

∵e=，

∴a=2b.

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则

d²=x²+(y－)²=a²cos²θ+(bsinθ－)²=－3b²·(sinθ+)²+4b²+3.

如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d²(从而d)有最大值，由题设得()²=(b+) ²，由此得b=－＞，与b＜矛盾.

因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d²(从而d)有最大值，由题设得()²=4b²+3.

由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x=2cosθ，

y=sinθ.

消去参数得+y²=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点(－，－)，(，－)到P点的距离都是.

评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.

深化拓展　　

根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.

提示：由

　　　　　 x²+(y－)²=7，

x²+4y²=4b²，

得3y²+3y－=4b²－7，

由Δ=0得b²=1，

即椭圆方程为x²+4y²=4.

所求点为(－，－)、(，－).

●闯关训练

夯实基础

4.(2005年春季上海，7)双曲线9x²－16y²=1的焦距是____________.

解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a²=，b²=，

c²=a²+b²=+=.

∴c=，2c=.

答案：

3.若点(x，y)在椭圆4x²+y²=4上，则的最小值为

A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 B.－1

C.－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 D.以上都不对

解析：的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k(x－2)代入椭圆方程(4+k²)x²－4k²x+4k²－4=0.

令Δ=0，k=±.

∴k_min=－.

答案：C

2.到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是

A.椭圆　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　B.AB所在直线

C.线段AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 D.无轨迹

解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3.

答案：C

1.(2005年春季北京，5)设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax²+by²=c为椭圆”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：ac>0曲线ax²+by²=c为椭圆.

反之成立.

答案：B

8.7　 圆锥曲线的综合问题

●知识梳理

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.

具体来说，有以下三方面：

(1)确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.

(2)解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.

(3)解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.

●点击双基

0.0022v²+6274.3275－17.4375=0，

解得v≈19.44 m/s或v≈86.88 m/s.

若v≈86.88 m/s，则x=156.246 m，与题目不符，

而v≈19.44 m/s，符合题意，为所求解.

故v≈19.44 m/s=69.984 km/h≈70 km/h.

答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h.

评述：本题直接构造y是x的函数解析式很困难，应引入适当的参数(时间t)作媒介，再研究x与y是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.

[例2] A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角.

解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则

B(－3，0)、A(3，0)、C(－5，2).

因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.

因为k_BC=－，BC中点D(－4，)，

所以直线PD的方程为y－=(x+4).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　①

又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.

设P(x，y)，则双曲线方程为－=1(x≥0).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

联立①②，得x=8，y=5，

所以P(8，5).因此k_PA==.

故炮击的方位角为北偏东30°.