5.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n(n∈N^*)行，在这些数中非1的数字之和是___________________.

1

1　 1

1　 2　 1

1　 3　 3　 1

1　 4　 6　 4　 1

……

解析：观察可知，第n(n∈N^*)行中有n个数，从左向右依次是二项式系数C，C，C，…，C，故当n≥3时，除了1外，第n行各数的和为a_n=C+C+…+C=2^n－1－2.又前两行全部为数字1，故前n行非1的数字之和为a₃+a₄+…+a_n=－2(n－2)=2ⁿ－2n.

答案：2ⁿ－2n

●典例剖析

[例1] 已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=7，a₁a₂a₃=8，求a_n.

剖析：利用等比数列的基本量a₁，q，根据条件求出a₁和q.

解：设{a_n}的公比为q，由题意知

解得或∴a_n=2^n－1或a_n=2^3－n.

评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.

思考讨论

用a₂和q来表示其他的量好解吗？该题的{a_n}若成等差数列呢？

[例2] 已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，{a_n}的部分项组成下列数列：a，a，…，a，恰为等比数列，其中k₁＝1，k₂＝5，k₃＝17，求k₁+k₂+k₃+…+k_n.

剖析：运用等差(比)数列的定义分别求得a，然后列方程求得k_n.

解：设{a_n}的首项为a₁，∵a、a、a成等比数列，∴(a₁+4d)²＝a₁(a₁+16d).

得a₁＝2d，q＝＝3.

∵a＝a₁+(k_n－1)d，又a＝a₁·3^n－1，

∴k_n＝2·3^n－1－1.

∴k₁+k₂+…+k_n＝2(1+3+…+3^n－1)－n

＝2×－n＝3ⁿ－n－1.

评述：运用等差(比)数列的定义转化为关于k_n的方程是解题的关键，转化时要注意：a是等差数列中的第k_n项，而是等比数列中的第n项.

[例3] 设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5，5，5成等比数列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n、b_n.

剖析：由等比中项、等差中项的性质得a_n+1=递推出a_n=(n≥2).

解：∵5，5，5成等比数列，

∴(5)²=5·5，即2b_n=a_n+a_n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，

∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n·b_n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由②及a_i＞0，b_j＞0(i、j∈N^*)可得

a_n+1=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

∴a_n=(n≥2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

将③④代入①可得2b_n=+(n≥2)，

∴2=+(n≥2).

∴数列{}为等差数列.

∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁·b₂，∴b₂=.

∴=+(n－1)(－)

=(n+1)(n=1也成立).

∴b_n=.

∴a_n==

=(n≥2).

又当n=1时，a₁=1也成立.

∴a_n=.

评述：由S_n求a_n时要注意验证a₁与S₁是否一致.

特别提示

4.(2004年全国，文14)已知等比数列{a_n}中，a₃=3，a₁₀=384，则该数列的通项a_n=___________________.

解析：由已知得q⁷==128=2⁷，故q=2.∴a_n=a₃·q^n－3=3·2^n－3.

答案：3·2^n－3

3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为

A.5　　　　　　　　　　　　　　　 B.10　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.14　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.15

解析：由题意列式(1－20%)ⁿ＜5%，两边取对数得n＞≈13.4.故n≥14.

答案：C

2.设{a_n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a₁·a₂·a₃·…·a₃₀=2³⁰，那么a₃·a₆·a₉·…·a₃₀等于

A.2¹⁰　　 　　　　　　　　　 B.2²⁰ 　　　　　　　　　　　 C.2¹⁶　　 　　　　　　　　　 D.2¹⁵

解析：由等比数列的定义，a₁·a₂·a₃=()³，故a₁·a₂·a₃·…·a₃₀=()³.又q=2，故a₃·a₆·a₉·…·a₃₀=2²⁰.

答案：B

1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是

A.arccos　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.arcsin

C.arccos　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.arcsin

解析：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin²B=sinA，即cos²A=sinA，1－sin²A=sinA，解之得sinA=或sinA=(舍).

答案：B

6.证明等比数列的方法：(1)用定义：只需证=常数；(2)用中项性质：只需a_n+1²=a_n·a_n+2或=.

●点击双基

5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq³为好.

4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±.

3.前n项和S_n=

注：q≠1时，=.

2.通项公式：a_n=a₁q^n－1，

推广形式：a_n=a_mq^n－m.

变式：q=(n、m∈N^*).