4、某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产品Q的函数：R(Q)= 4Q - 　，则总利润L(Q)的最大值是　　　 万元，这时产品的生产数量为　　　 　。(总利润=总收入- 成本)

3、某物体一天中的温度T是时间t的函数，T(t)= t- 3t + 60 ，时间单位是小时，温度单位是C，t = 0时表示12时，其后t取值为正，则上午8时的温度为　　　　　 (　 )

A C 　　B　 18C　　　 C　　 58C　　　　 D　 128C

2、产品生产件数x与成本y(万元)之间有函数关系y =300 + 20x – 0.1x，若每件产品成本平均不超过25万元且每件产品用料6吨，现有库存原料30吨，旺季可进料900吨旺季最高产量是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A　 150件　　　 B　 155件　　　 C　 200件　　　 D　 1000件

1、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是　 y　　　　　　　　 y　　　　　　　　 y　　　　　　 y　　　　　 (　 )

A.　　　 o　　　 x　 B.　　 o　　　　　 x　　 C o　　　　　 x　 D　 o　　　　 x

(三)解答题

16.求函数f(x)=(a＞0，a≠1)的定义域.

17.已知函数f(x)=(a≠0)的图像过点(-4，4)，且关于直线y=-x 或轴对称图形，试确定f(x)的解析式.

18.已知函数f(x)=log_a(x-ka),g(x)=log_a²(x²-a²)

(1)用k、a表示f(x)、g(x)的公共定义域；

(2)如果方程log_a(x-ka)=log_a²(x²-a²)有解；k的取值范围如何?

19.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方 形地面建造公园，公园一边落在CD上(如图)，但不得越过文物保护区△AEF的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积. 其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.

19题图

20.定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x∈(0，1)时，f(x)=。(1)求f(x)在［-1，1］上的解析式；(2)证明f(x)在(0，1)上是减函数；(3)当λ取何实数值时，方程f(x)=λ，在［-1，1］上有解.

(二)填空题

11.函数y=的定义域为　　　　　 .

12.已知函数f(x)=a^x+m的图像经过点(1，3)，其反函数f^-1(x)的图像经过点(2，0) ，那么函数f(x)的解析式是　　　　　 .

13.已知定义在闭区间［0，3］上的函数f(x)=kx²-2kx的最大值为3，那么实数k的值是　　　 .

14.方程log₂(9-2^x)=3-x的解集是　　　　 　　.

15.如果奇函数f(x)在区间［a,b］(a,b＞0)上是增函数且有最小值3，则f(x)在区间［-b,-a ］上的最大值是　　　　　 .

(一)选择题

1.如右图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分的集合是( 　　)

A.(M∩P)∩S

B.(B∩P)∪S

C.(M∩P)∩

D.(M∩P)∪

2.函数y=的值域为(　　 )

A.(-∞，)　　　　　　　　　　　　 B.(0，)

C.［，+∞］　　　　　 　　　　　　D.［0，+∞)

3.若函数f(x)=中，当x＜-1时，f(x)是增函数，则a的取值范围是

(　　 )

A.a＞1　　　　　　　　　　　　　　　 B.-1＜a＜1

C.a＞1或a＜-1　　　　　　　　　　　 D.-1＜a＜1且a≠0

4.函数f(x)=log(6-x-x²)的单调递增区间是(　　 )

A.［-，+∞］　　　　　　　　　　　 B.［-，2］

C.(-∞，-)　　　　　　　　　　　　 D.(-3，-］

5.函数y=log(x++1)(x＞1 )的最大值是(　　 )

A.-2　　　　　　　 B.2　 　　　　　　C.-3　　　　　　　　 D.3

6.函数y=a^｜x｜(a＞1)的图像是(　　 )

A　　 　　　　　　B　　　 　　　　　　　C　　 　　　　　　　D

7.已知函数f(x)存在反函数，且f(x+1)的图像过点(0，2)，那么下列函数中，可能是f(x) 的反函数的是(　　 )

A.y=1+(0≤x≤2)　　　　　　　　　　　 B.y=1-(-2≤x≤2)

C.y=2-(0≤x≤2)　　　　　　　　　　　 D.y=(0≤x≤2)

8.设＜()^b＜()^a ＜1，那么(　　 )

A.a^a＜a^b＜b^a　　　　　 B.a^a＜b^a＜a^b

C.a^b＜a^a＜b^a　 　　　　D.a^b＜b^a＜a^a

9.设f(x)是以4为周期的偶函数(x∈R)，已知x∈［0，2］时，f(x)=x ，则(　　 )

A.f(3)＜f()＜f()　　　　　　　　　　　　　 B.f(3)＜f()＜f()

C.f()＜f(3)＜f()　　　　　　　　　　　　　 D.f()＜f(3)＜f()

10.已知恒为正数，那么实数a的取值范围是(　　 )

A.a＜　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. ＜a≤

C.a＞1　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D. ＜a＜或a＞1

1.集合

(1)集合元素有“四性”：确定性、互异性、无序性和任意性。即集合中元素应完全确定， 不能模棱两可，集合中元素互不相同，不能重复出现；集合中元素无序关系，例如{1、2、 3}与{2、1、3}表示同一集合；集合中元素可以是具体确定的事物，而不仅限于“数、点 、式、形”。

(2)集合表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。

(3)元素与集合，集合与集合的关系：“∈”“”用于表示元素与集合间关系，“”“＝”“”“”用于表示集合与集合间关系。

(4)集合运算有三种：交、并、补。

交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集，记作A∩B。即

A∩B＝{x｜x∈A且x∈B}

并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集，记作A∪B 。即

A∪B＝{x｜x∈A或x∈B}

补集：已知全集I、集合A?I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集，记作。即

＝{x｜x∈I，且xA}

(5)例题赏析

例1　 已知集合A＝{x、xy、lg(xy)}，B＝{0、｜x｜，y}且A＝B，求x、 y的值。

解：由A＝B可知，必有lg(xy)＝0，即xy＝1，若xy＝y，则x＝1，于是x＝xy，与集合A中元 素互异性矛盾，故xy＝｜x｜，即x＝y＝-1　 符合题意，此时，A＝B＝{1，-1，0}，∴x＝ y＝-1

说明：通过对“集合元素有‘四性’”的应用，强化学生对概念的理解，培养学生思维的全 面性、深刻性，使之具备应用集合元素性质解决问题的能力。

例2　 设I＝{x｜x是不大于20的质数}，且A∩＝{3，5}，?∩＝{7，19}，∩＝{2，17}，则A＝　　　 　，B＝　　　 。

解：由题设知，I＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，因为∩?＝{2，17 }，A∪B＝{3，5，7，11，13，19}，这些元素可分三种情况，属于集A而不属于集B(由题 设为3，5)；属于集B而不属于集A(由题设为7，19)，余下的11，13既属于集A，又属于集B， 故A＝{3，5，11，13}，B＝{7，11，13，19}

注：本题可用韦恩图表示I、A、B之间的关系，其结果将更加明朗。

说明：通过对集合表示方法的训练，培养学生思维的灵活性，使之具备“数形结合”解决此类问题的能力(韦恩图法)。

例3　 设A＝{x｜x＝a²+1，a∈N}，B＝{y｜y＝b²-6b+10，b∈N}， 求证：AB

证：∵A＝{x｜x＝a²+1，a∈N}，B＝{y｜y＝b²-6b+10，b∈N}＝{y｜y＝(b-3)² +1，b∈N}

又∵a,b∈N，∴b-3∈{-2，-1，0}∪N

对于任意一元素x∈A，则x∈B

∴AB

当b-3＝0时y＝(b-3)²+1＝1∈B，而1A

∴AB

说明：通过对集合与元素，集合与集合关系的训练，培养学生运算能力，使之具备根据条件寻求合理、简捷运算途径的能力。

例4　 设A＝{x｜(x+2)(x+1)(x-1)＞0}，B＝{x｜x²+px+q≤0}，若A∪ B＝{x｜x＞-2}，A∩B＝{x｜1＜x≤3}，求p、q的值。

解：将A化简，得A＝{x｜-2＜x＜-1，或x＞1}，由A∪B＝{x｜x＞-2}，A∩B＝{x｜1＜ x≤1}，结合数轴，知B＝{x｜-1≤x≤3}，由-1和3是方程x²+px+q＝0的两根，得p＝-2　 q＝-3

说明：通过对数集的交、并、补运算的训练，使学生掌握化简集合，利用数轴表示集合并进行运算的方法。

2.映射与函数

(1)映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“一对多”。

(2)从集合A到集合B的映射f：A→B中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。

(3)函数是一种特殊的映射，要求f:A→B中，A、B都是非空数集，其中A为定义域，f(A)是值域。

(4)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。

(5)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

(6)函数的三特征：非空、数集、满射。

(7)例题赏析：

例5　 已知(x,y)在映射f下的象是(x²+y²,x²-y²)，求点(10，8)在 f下的原象。

解：由已知得，解得

所以所求的原象是(3，1)；(3，-1)；(-3，1)；(-3，-1)。

说明：通过本题加深对“映射”概念的理解，训练学生分析象与原象关系的能力，使之具备把映射与其它知识综合运用的能力。

例6　 设f(x)是定义在R⁺上的函数，且满足f(xy)＝f(x)+f(y)　　 f()＝1，求f(1)和f(4)的值。

解：∵对任意x，y∈R⁺均有f(xy)＝f(x)+f(y)成立

令x＝1,y＝1，得f(1·1)＝f(1)+f(1)

∴f(1)＝0

又令x＝2，y＝　 得f(2·)＝f(2)+f()

∴0＝f(2)+1　　　 ∴f(2)＝-1

∴f(4)＝f(2·2)＝f(2)+f(2)＝2f(2)＝-2

说明：通过“函数是一种特殊的映射”，训练学生思维的敏捷性和灵活性，使之具备抽象思维能力。

例7　 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧棍周长均为1600m m，若第K对轧辊 有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L_K， 为了便于检修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)。

解：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处 两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，故　 1600＝L₃·(1-0.2)

所以　 L₃＝1600/0.8＝2000(mm)

同理　 L₂＝L₃/0.8＝2500(mm)

L₁＝L₂/0.8＝3125(mm)

填表如下：

说明：通过函数表示方法，训练学生分析问题能力，使之具备用表格法表示函数的能力。

例8　 已知函数f(x)＝x²，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g (x))＝4x²-20x+25，求g(x)的表达式。

解：由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax+b(a＞0)

∵f(g(x))＝4x²-20x+25

∴(ax+b)²＝4x²-20x+35，即

a²x²+2abx+b²＝4x²-20x+25

解得a＝2,b＝-5

故g(x)＝2x-5(x∈R)

说明：通过本题，训练学生利用待定系数法、恒等式性质解题的能力，加深对函数三要素、 三特征的理解，使之具备求复合函数解析式、定义域的能力。

3.函数性质

(1)定义域：x的取值集合。

(2)值域：y的取值集合。

(3)增减性：对于给定区间上的函数f(x)、对任意的x₁，x₂·x₁＜x₂f(x₁)＜f( x₂),f(x)在区间上是增函数；x₁＜x₂f(x₁)＞f(x₂)，f(x)在区间上是减函数。

(4)奇偶性：对于函数定义域内任意x，有f(-x)＝f(x) f(x)是偶函数；f(-x)＝-f(x) f(x )是奇函数。

(5)周期性：若存在常数T(T≠0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)＝f(x),则f(x)叫周期函数 ，T叫f(x)的一个周期，合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。

(6)奇偶性与单调性

奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同。

偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。

(7)奇函数、偶函数定义域必关于原点对称。对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；f(x)＝0。既是奇函数又是偶函数。否则会期引起歧义。

(8)例题赏析：

例9　 求函数y＝的定义域。

解：　　 -5＜x＜-2，且x≠-4

所以定义域为(-5，-4)∪(-4，-2)

说明：给定了函数的解析式，如果未指出函数的定义域，一般而言，函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围。

应考虑到：

(1)分式　 分母≠0；

(2)偶次根式　 被开方数≥0；

(3)对数　 真数＞0，底数＞0，底数≠1；

(4)零指函数　 底数≠0；

(5)正切　 y=tgx, x≠kπ+(k∈z)；

　　 余切　 y=ctgx, x≠kπ(k∈z)；

(6)反正、余弦｜x｜≤1。

如果是实际问题或几何问题，要根据实际情况确定函数定义域；如圆面积公式S＝πR²的定义域是R＞0。

例10　 求下列各函数的值域：

(1)y＝；　 (2)y＝；　 (3)y＝；

(4)若f(x)的值域是(，)，求函数g(x)＝f(x)+的值域。

解：(1)y＝-1+　 ∵≠0　 ∴y≠-1

故函数y＝的值域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)

(2)由函数关系式，得 e^x＝，∵e^x＞0，即＞0

解得y＞2或y＜-1，故函数的值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)

(3)由函数关系式变形、整理，得2yx²-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0

∵x∈R

∴Δ＝(-4y)²-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5]

(4)设t＝　 ∵≤f(x)≤　 ∴≤1-2f(x)≤即t∈［，］，且f(x)＝(1-t²)，于是

g(x)＝-t²+t+＝-(t-1)²+1，t∈［，］

当t＝时，g_min(x)＝

当t＝时，g_max(x)＝

∴≤g(x)≤，故函数g(x)的值域为［，］

说明：求值域常用方法有：

(1)用配方法求二次函数的值域；(2)根据反函数求二次函数的值域；(3)对于可化为二次函数型时，利用判别式法求值域，但要注意某些限制条件；(4)利用函数的单调性求函数的值域；(5)通过函数的图像和变量代换求出函数的值域。

本题通过求函数值域，训练学生的逻辑思维及运算能力，加深对反函数、二次函数及函数单调性等数学概念的理解，使之具备思维的多向性、深刻性和批判性等能力。

例11　 已知f(x)＝x³,证明f(x)在R上是增函数。

证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则

f(x₁)-f(x₂)＝x₁³-x₂³＝(x₁-x₂)(x₁²+x₂²+x₁x₂)

＝(x₁-x₂)［(x₁+x₂)²+x₂²］

∵x₁＜x₂

∴(x₁+x₂)²+x₂²＞0,(否则x₁＝x₂＝0)

又x₁-x₂＜0

∴(x₁-x₂)［(x₁+x₂)²+x₂²］＜0

即　 f(x₁)-f(x₂)＜0，f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)＝x³在R上是增函数。

说明：通过单调性证明，训练学生运算能力，使之具备将f(x₁)-f(x₂)化为几个能确定符号的因式的积的能力。

注意：①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x₁、x₂具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。③由于定义是充要性命题，因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

例12　 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=2^x-()^X;

(2)f(x)= +;

(3)f(x)=·;

(4)f(x)=lg(x+);

(5)f(x)=

解：(1)奇函数

(2)函数定义域为(-∞，0)∪(0+∞)

f(-x)=

=(-x)

=(-x)()

=(-x)(

=f(x)

所以函数为偶函数

(3)由　　　 得x＝1

故函数的定义域为{1}，它不是关于原点对称的实数集，故此函数既不是奇函数，又不是偶函数。

(4)函数的定义域为R。

f(x)+f(x)=lg(-x+)+lg(x+)

=lg(-x+)(x+)=lg1=0

即　 f(-x)=-f(x)

所以函数为奇数函数

(5)函数的定义域为R。

f(-x)=

故f(x)是奇函数

注　 研究函数奇偶性应注意：

(1)f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)中x应是定义域内任意值；

(2)已知函数f(x)的定义域应是关于原点对称取值的实数集，否则函数是非奇非偶函数；

(3)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。

例13　 已知函数f(x)的最小正周期是8，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数 x成立，判断f(x)的奇偶性。

解：f(-x)＝f［4-(4+x)］＝f［4+(4+x)］＝f(8+x)＝f(x)

故f(x)是偶函数。

说明：通过函数的周期性，对称性推导其奇偶性，训练学生的逻辑思维能力。使之具备正确 的思维取向，提高能力层次。

例14　 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是减函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?

解：设x₁、x₂＜0且x₁＜x₂，则0＜(-x₂)＜(-x₁)

∵f(x)在(0，+∞)上是减函数

∴f(-x₂)＞f(-x₁)……　 (1)

又∵f(x)是奇函数　

∴f(-x₂)＝-f(x₂)，f(-x₁)＝-f(x₁)代入(1)式得　

-f(x₂)＞-f(x₁)　 从而

　　　　　　　　 f(x₂)＜f(x₁)

由此可知：函数f(x)在(-∞，0)上是减函数。

说明：通过应用奇偶性、单调性，训练学生分析问题能力使之具备转化条件解决问题的能力 。

4.二次函数在闭区间上最值问题

闭区间［α，β］上的函数f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)，当-∈［α，β］ 时 ，最值从f(-),f(α),f(β)中比较得出。当-［α，β］时，最值从f(α),f(β)中比较得出。

例15　 求函数y＝3x²-12x+5当自变量x在下列范围内取值时的最值。

(1)0≤x≤3　 　　　　(2)-1≤x≤1

解：对称轴x＝2

(1)∵2∈［0，3］　 ∴当x＝2时，y_min＝-7

x＝0时，y_max＝5

(2)∵2［-1，1］　 ∴当x＝1时，y_min＝-4

当x＝-1时，y_max= 20

5.反函数

(1)式子y＝f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y＝f(x) 中解出x，得到式子x＝φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x＝φ(y)，x在A中 都 有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数。这样的函数x＝φ( y)，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f^-1(y)，即 x＝φ(y)＝f^-1(y)

习惯上，一般用x表示自变量，y表示函数，为此对调式子x＝f^-1(y)中的字母x、y， 把它改写成y＝f^-1(x)

(2)原函数与反函数的图像关于y＝x对称。

(3)原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同。

(4)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。

(5)单调函数必有反函数。

(6)f^-1(f(x))＝x,x∈A，f［f^-1(x)］＝x,x∈C。

6.幂函数：y＝x^a，定义域是使x^a有意义的实数，图像过(1，1)点，a＞0时，在第一象限内是增函数；a＜0时，在第一象限内是减函数。

例16　 已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞) 上是增函数，求f(x)的解析式。

解：∵f(x)＝x在(0，+∞)上是增函数

∴4-(m-1)²＞0　　 解之得：-1＜m＜3

又∵m∈Z　 ∴m＝0，1，2，代入得：

f(x)＝x³,f(x)＝x⁴,f(x)＝x³

又∵f(x)为偶函数

∴f(x)＝x⁴

说明：通过求幂函数的解析式，训练学生自觉运用幂函数的性质使之具备解决待定系数法确 定幂函数解析式的能力。

例17　 函数y=a^｜y｜(a＞1)的图像是(　　 )

解：由于y=a^｜x｜(a＞1)是偶函数，其图像关于y轴对称，故可先画y=a^x(x≥0，a ＞1)的图像，然后再沿y轴翻折。

应选B。

说明：通过函数定义域及其奇偶性，判断值域，使学生具备从特殊到一般的辨证思维能力。

7.指数函数与对数函数

(1)对数：在指数式a^b＝N中(a＞0且a≠1)，则称b叫做以a为底N的对数，记作b＝log_aN, 以10为底的对数称为常用对数，记作lgN，以e为底的对数称为自然对数，记作lnN。

(2)指数运算法则(略)，对数运算法则(略)。

(3)若lgx＝a+b，其中a∈Z，b∈［0,1),则称a为x的常用对数的首数，b为x的常用对数的尾数，当x＝a×10ⁿ，1≤a＜10时，则lgx的首数为n。

(4)对数恒等式　　 a＝N(a＞0，且a≠1)

对数换底公式　　 log_aN＝log_bN/log_ba(a、b＞0且≠1)

(5)对数函数与指数函数性质

指数函数

对数函数

解析式

y＝ax(a＞0，a≠0)

y＝logax(a＞0，a≠1)

定义域

x∈R

x∈R+

值　 域

y∈R+

y∈R

图 像

性 质

单调性

a＞1，R递增

0＜a＜1时，R递减

a＞1时，R+递增

0＜a＜1时，R+ 递减

特征点

(0，1)

(1，0)

值　 的分　 布

x＜0

x＝0

x＞0

0＜x＜1

x＝1

x＞1

a＞1

0＜y＜1

y＝1

y＞1

a＞1

y＜0

y＝0

y＞0

0＜a＜1

y＞1

y＝1

0＜y＜1

0＜a＜1

y＞0

y＝0

y＜0

　(6)例题赏析

例18　 求函数y＝的定义域

解：要使函数有意义，必须且只需

∴x＜-3或x≥2，且x≠-1-

故函数定义域为{x｜x＜-3或x≥2，且x≠-1-}

例19设a＞0，a≠1，又b＝(a-a)求log_a²(b+)ⁿ

解：∵b＝(a-a)　 ∴＝(a+a)

∴log(b+)ⁿ＝log_a²(a)ⁿ ＝log_a²a＝

说明：通过本题，训练学生运算能力，使之具备正确应用对数、指数性质的能力。

例20　 已知函数f(x)＝

(1)判断它的奇偶性。

(2)求证它是单调递增函数。

(3)求它的反函数。

解：(1)：∵10^x+10^-x≠0 　　∴定义域为R

f(-x)＝ ＝-f(x)　

∴f(x)为奇函数。

(2)：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则

f(x₂)-f(x₁)＝

＝

当x₂＞x₁时，10＞1　 10＜1

∴10-10＞0

又(10+10)·(10+10)＞0

∴f(x₂)＞f(x₁)

∴f(x)为增函数。(变形f(x)＝更容易些)

(3)y＝去分母得　 y·10^2x+y＝10^2x-1

(1-y)10^2x＝1+y

当y＝1时，x无解

当y≠1时，10^2x＝

显然当＞0时，即-1＜y＜1时，x有解。

当 ≤0时，x无解

∴当-1＜y＜1时，2x＝lg

即x＝lg［］　 (-1＜y＜1)

∴反函数为：y＝lg　 (-1＜x＜1)

说明：此题f(x)的形式变化可使解题难易程度变化。本题以f(x)为载体全面地训练学生对函 数的性质的理解和运用，使之具备较强的运算能力。

例21　 已知函数f(x)＝lg(x+)-lg

证明：(1)f(x)的图像关于原点对称。

(2)f(x)为单调函数。

证明：(1)∵x∈R

f(-x)＝lg(-x+)-lg

＝lg

＝-［lg(x+)-lg

＝-f(x)

∴f(x)是奇函数，故f(x)图像关于原点对称。

(2)设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂

∵

∴x₂-x₁＞

∴x₂+＞x₁+

∴f(x₂)＞f(x₁)

∴f(x)为单调递增函数。

说明：本题通过奇偶性、单调性证明，训练学生的运算能力，使之加深对函数性质理解，具备举一反三的能力。

8.指数方程与对数方程

(1)指数方程是一种超越方程，指数方程的解法大致分类有四种：(A)a^f(x)＝a^g(x)，其中a＞0且a≠1，利用指数函数的单调性化为代数方程：f(x)＝g(x)　 (B)形如a^2x+b·a^x+c＝0的指数方程，用换元法化为一元二次方程来解。　 (C)用对数知识。如a^f(x)＝b^g(x)(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)两边取对数，从而求解x　 (D)用图像 法求近似解。

(2)对数方程也是超越方程，对数方程的主要类型有：(A)基本型：log_ax＝b　 (B)同底数型：log_af(x)＝log_bg(x)　 (C)：形如：log+blog_ax+c＝0的代换型，各类型方程解法相对固定，均能化为代数方程解之，但要注意验根。上述类型以外的对数方程可用图像法求近似解。

(3)解对数方程时，需注意以下几点：

(A)利用公式log_aM+log_aN=log_aMN作恒等变形可能产生增根。例如，解方程lg(2x-1)+ lg(3x-7)=0时。

(B)利用公式log_aM^k=klog_aM作恒等变形可能失根，例如：解方程lg(x-1)²+lg(x-1)⁴+lg(x-1)⁶=12时。

(1)两边消去对数符号可能产生增根，例如解方程log_af(x)=log_ag(x)时

(4)例题赏析

例22 解下列方程

(1)3^7x-1·12^5x＝2^10x　 (2)7·3^x+1-5^x+2＝3^x+4- 5^x+3

解：(1)3^7x-1·3^5x·2^10x＝2^10x，得3^12x-1＝1

∴12x-1＝0，x＝是原方程的解

(2)7·3^x+1-5^x+2＝27·3^x+1-5·5^x+2

　 20·3^x+1＝4·5^x+23^x+1＝5^x+1

()^x+1＝1　 ∴x+1＝0，即x＝-1是原方程的根。

例23　 解下列方程

(1)2·7^2x-3-3·7^x-2-5＝0　　 (2)x^3lgx＝100x⁵

解：(1)令7^x＝t，则2t²-21t-5×7³＝0

t₁＝35,t₂＝-(舍)

由7^x＝35得x＝1+log₇⁵是原方程的解

(2)两边取以10为底的对数，方程化为3lg²x-5lgx-2＝0，从而lgx＝2，-.解得 x＝100或x＝10，检验知x＝100，x＝10是原方程的解。

说明：通过例1、例2，训练学生解指、对数方程的基本能力和基础方法，使之具备解较简单 指对数方程的能力。

例24　 解方程：log_0.5xx²-14log_16xx³+40log_4x＝0

解：x＞0，当x≠1时，利用换底公式将原方程化为：

　 ∴

　 ∴x＝4或x＝

经检验4，都是原方程的根。

由于换底时，可能失根1，经检验x＝1是原方程的根。

∴x＝4，x＝1，x＝都是原方程的根。

说明：通过本题，训练学生寻找失根的能力，使之具备解复杂方程的能力。

9.指数不等式与对数不等式

指数不等式与对数不等式都是超越不等式，其解法与它们的方程解法有点类似(比如换元法) 。解这样的不等式需要用到指数函数与对数函数的性质，特别是单调性。对其底数是否大于 1或小于1及定义域要特别重视。

例25　 解下列不等式

(1)9-7-12＞0

(2)log_0.3＜log_0.3

(3)log_a()+log_a(

(4)log₄(3^x-1)log≤

解：(1) 9-7-12＞03-7-12＞0

x²-x-12＞0x＞4或x＜-3(舍)

∴原不等式的解为{x｜x＞4}

(2)原不等式化为：

　　 解之得：3＜x＜5

∴原不等式的解集为{x｜3＜x＜5}

(3)原不等式化为　 x²log_a()+4xlog_a() ＞5log_a()

当a＞1时，log_a()＜0，则x²+4x-5＞0解得x＜-5或x＞1

当0＜a＜1时，log_a()＜0，则x²+4x-5＜0解得-5＜x＜1

∴当a＞1时，原不等式解集为{x｜x＜-5或x＞1}

　 当0＜a＜1时，原不等式解集为{x｜-5＜x＜1}

(4)利用对数的性质将原不等式化为

［log₄(3^x-1)］²-2log₄(3^x-1)+ ＝0

令t＝log₄(3^x-1)得　 　4t²-8t+3≥0

解得：t≤或t≥

当t≤时，0＜3^x-1≤2，即1＜3^x≤3　 ∴0＜x≤1

当t≥时，3^x-1≥4，即3^x≥8+1

∴x≥2

∴原不等式的解集为{x｜0＜x≤1或x≥2}

说明： 通过解指数不等式与对数不等式，训练学习应用函数性质能力，使之具备解指数不 等式与对数不等式的能力。

10.综合问题

(1)函数y＝f［(x)］可看成是函数y＝f(u)与u＝(x)复合而来的。或称y＝f［(x)］是 y＝f(u)与u＝(x)的复合函数。在此时u＝(x)的值域应为y＝f(u)的定义域的子集。例如 ：y＝10^2x-1可以看作是函数y＝10^x与u＝2x-1复合而成的。

(2)y＝f［(x)］的定义域是指使得u＝(x)有意义且同时使y＝f(u)有意义的x的取值范围 。记此定义域为D，当x∈D时，u的值域为D′，当u在D′内变化时，此时y的取值集合称为 y＝f［(x)］的值域。

(3)在复合函数y＝f［(x)］中，若u＝φ(x)在区间(a,b)上是单调函数，复合函数y＝f(u) 在区间((a)， (b))或((b)，(a))上是单调函数，那么复合函数y＝f［(x)］在区间(a,b)上也一定是单调函数，它的增减性如下：当u＝(x)与y＝f(u)的增减性相同时，y ＝f［(x)］是增函数，否则为减函数。

(4)通过对函数图像的平移、对称等变换，可使函数形式变得更为简洁。

(A)y＝f(x+a)的图像：是将y＝f(x)图像左移a个单位。

(B)y＝f(x)+b的图像：是将y＝f(x)图像上移b个单位。

(C)y＝-f(x)的图像：是将y＝f(x)图像关于x轴对称而得到。

(D)y＝f(-x)的图像：是将y＝f(x)图像关于y轴对称而得到。

(E)y＝｜f(x)｜图像：是将f(x)＜0的部分曲线关于x轴对称、同时将f(x)≥0的部分曲线保 持不变。

(F)y＝f(｜x｜)的图像：是将x≥0处的图像y＝f(x)保持不变，x≤0处的图像 由y＝f(x)(x ≥0)关于y轴对称而得到。

(5)如果f(m+x)＝f(m-x)成立，则y＝f(x)图像关于x＝m对称，若f(x)＝f(2m-x)，则y＝f(x) 图像关于x＝m对称。

(6)函数y＝f(x-m)与y＝f(m-x)的图像关于x＝m对称。函数y＝f(x)与y＝f(2m-x)的图像关于x＝m对称。

(7)函数的最值问题与含参问题是两类重要题型，其覆盖面广、综合性强，对提高能力很有帮助。

(8)例题赏析：

例26　 求函数y＝log_0.2(2x²-x-3)的定义域与值域并讨论其单调性 。

解：设2x²-x-3＝u，则函数可以看成是y＝log_0.2u与u＝2x²-x-3的复合函数。

∵2x²-x-3＞0　 ∴x＜-1或x＞

∴函数定义域为{x｜x＜-1或x＞}

当x＜-1或x＞时，u＝2x²-x-3∈(0，+∞)

∴y∈R，即值域为R

当x＜-1时u(x) 　　y＝log_0.2u　 　∴y＝log_0.2u(x)

当x＞时u(x) 　　y＝log_0.2u　 　∴y＝log_0.2

∴y＝log_0.2(2x²-x-3)的递增区间是(-∞，-1)，递减区间是(，+∞)

说明：讨论复合函数的单调性，值域等均不能离开定义域，通过本题训练，使学生具备深刻认识复合函数的能力。

例27　 设a＞0，a≠1，f(x)＝log_a(x+)

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)求函数的反函数f^-1(x)；

(3)若方程f(x)＝log_a(2x+ak)有实数解，求k的取值范围。

解 　∵x+＞x+｜x｜≥0　 ∴f(x)定义域为R。

设u＝x+，则u∈(0，+∞)，f(x)值域为R。

(1)f(-x)＝log_a(-x+)

＝log_a(x+)^-1

＝-f(x)

∴f(x)是奇函数。

(2)设y＝log_a(x+)，则

　　 a^y＝x+ ,a^-y＝ -x

∴a^y-a^-y＝2x　　 x＝(a^y-a^-y)

∴反函数f^-1(x)＝(a^x-a^-x)　 (x∈R)

(3)由对数性质知log_a(x+ )＝log_a(2x+ak)

∴　 ∴

当k＝0时，②无解，从而原方程无解。

当k≠0时，又a＞0，由②得x＝代入①得，

＞-

∴＞0

∴＞0　　 ∴k＞0

∴当k＞0时，原方程有实数解。

说明：通过讨论复合函数的性质和方程的解，训练学生解题技能和运算能力，使之具备一定综合分析能力。

例28　 方程1+有解 。求a的取值范围。

解：由题意知x＞0且x≠1且x＜2lga

整理化简原方程得：x²-2lgax+4＝0

∵Δ≥0，∴4lg²a-16≥0 　　∴lga≤-2或lga≥2

∴0＜a≤　 或a≥100

又x₁·x₂＝4＞0，x＞0

∴x₁+x₂＝2lga＞0

∴a＞1

故a≥100，此时　 x_1，2＝lga±

显然　 lga-＞0　 lga+＜2lga，即0＜x＜2 lga成立。若lga-＝1则lga＝，a＝10，此时lga+＝4是原方程的根。这就是说a≥100时，方程必有解x合条件 ：0＜x＜2lga，且x≠1。

∴方程有解时，a的取值范围是a≥100

说明：通过含参一元二次方程的讨论，训练学生对判别式及求根公式和韦达定理的综合运用 能力，使之具备正确审题，全面分析的能力。

例29　 设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，解不等式：f［x(x-)］＜0

解：∵奇函数f(x)在(0，+∞)上递增

　　 ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增

又f(-1)＝-f(1)　 ∴f(-1)＝f(1)＝0

∴当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0

当x∈(-∞，-1)∪(0，1)时　 f(x)＜0

∴又x(x-)=(x-)²-≥-＞-1欲使f(x(x-))＜0成立，则必有

x·(x-)∈(0,1),即

0＜x(x-)＜1,解之得：

＜x＜0或＜x＜

说明：通过解抽象函数不等式，训练学生的逻辑思维能力使之具备分析抽象函数性质的能力。

例30　 对于k∈N，用I_k表示区间(2k-1，2k+1］。已知x∈I_k时，f(x)＝(x-2k)²，求集合M_k＝{a｜使方程f(x)＝ax在I_k上有两个不相等的实根的a的值}

解：y＝f(x)图像就是将y＝x²(x∈(-1，1］)向右平移2k个单位所得，其中k∈N

设y₁＝f(x),y₂＝ax，同集合M_k可知，若a∈M，则函数y₁＝f(x)与y₂＝ax图像有两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y₂≤1

∴0＜a≤

∴M_k＝{a｜0＜a≤，k∈N＝，即M_k＝(0，)

说明：通过化简集合，训练学生图像变换，数形结合能力，使之具备用图像法分析方程根的 能力。

例31　 设函数y＝f(x)定义在R上，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意m，n∈R， 有f(m+n)＝f(m)f(n)，当m≠n时，有f(m)≠f(n)

(1)证明：f(0)＝1　　　　 (2)证明：f(x)为增函数

证明：(1)令m＝0，则对任意n∈R，有

　　　 f(n)＝f(n+0)＝f(0)f(n)

　　　 ∴f(0)＝1

(2)设x＜0则-x＞0且x+(-x)＝0

由(1)知　 f［x+(-x)］＝1

　　　 又 f［x+(-x)］＝f(x)·f(-x),f(-x)＞1

　　　 ∴f(x)＝∈(0，1)

故当x＜0时　 f(x)∈(0，1)　 当x＝0时　 f(x)＝1，当x＞0时f(x)＞1

即对任意x∈R，f(x)＞0成立。

设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，x₂＝x₁+(x₂-x₁)，f(x₂-x? 1)＞1

f(x₁)-f(x₂)＝f(x₁)-f［x₁+(x₂-x₁)］＝f(x₁)［1-f(x₂-x₁)］＜0

∴f(x₁)＜f(x₂)，f(x)为增函数。

说明：通过证明f(x)的单调性，训练学生讨论抽象函数f(x)性质的能力，使之具备一定的逻 辑思维能力。

[同步达纲练习]

10.会解简单的对数不等式、指数不等式及简单的函数不等式，要注意单调性和定义域的应用。

9.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单指数方程和对数方程。