3．数形结合法

[例6](1)已知U为全集，集合M、N?U，若M∩N=N，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．?_UM?_UN 　　B．M?_UN　

C．?_UM?_UN　 　D．M?_UN

(2)设U是全集，集合P、Q满足P?Q，则下面的结论中错误的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．P∪Q=Q　　　　 　　B．(?_U P)∪Q=U　

C．P∩(?_U Q)= 　　　D．(?_U P)∩(?_U Q)=?_U P

[分析]本题中两小题是一对姊妹题，一对高考题，第(1)小题为1995年全国高考题，检测根据集合的交并关系判断集合间

的包含及包含于关系；第(2)小题为1994年上海市高考题，检测由集合的包含关系判断集合的交并关系．两小题均涉及全集、补集、子集及真子集、集合的交并补运算，题中均未给出具体的集合，因而它们不仅全面检测了考生对集合概念理解和掌握程度，也检测了考生的抽象能力，是两道“题小功能大”的好题．对于第(1)小题，作出韦恩图如图2，由图易知?_UM?_UN正确，从而答案选C；对于第(2)小题，作出韦恩图如图3，由图可知，仅D选项的内容错误，从而答案选D．

[点悟]①解题关键点是借助韦恩图法，直接观察得到结论．

②解题规律是当问题比较抽象时，可以将问题特殊化、具体化，不妨取些特例，即用选择题的特例排除法来迅速得到答案．如对于第(1)小题，可令U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={1，2}，则?_UM={4}，?_UN={3，4}，显然只有?_UM?_UN成立，故答案非C莫属；对于第(2)小题，亦可令U={1，2，3，4}，Q={1，2，3}，P={1，2}，则错误结论D跃然纸上．

③解题易错点是读审题不认真仔细，不能注意提示用语，如第(1)小题选的是正确项，而第(2)小题选的则是错误项；另外不能正确理解集合语言及符号，搞错概念的内涵与外延．

[例7]已知集合A=，B=

{ x︱3a+1≤x≤2}，试问是否存在实数a使得A Ì B成立？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．

[分析]本题检测解绝对值不等式的能力，对集合间的包含关系的理解和转化能力，以及对字母的分类讨论能力，是一道小型综合题．解题时，可先对集合A进行化简，然后根据集合间的关系利用数形结合的办法，画出数轴，求出适合题意的a的值，或说明其值不存在．

[解]根据︱x︱≤a(a>0)的解集可将A中的元素化为

　　　 ．

解得　 ．

故 A={ x︱}．

因A Ì B，画出如图4的示意图，由此得

解得　 ．

于是符合条件的实数a存在，且．

[点悟]①解题关键点是正确理解条件“A Ì B”，画出数轴，以形助数，从而顺利破解问题．

②解题规律是一般为先假设问题是存在的，然后通过计算、证明、推理等手段，能求出解的可下结论是存在的，不能求出其解的可下结论是不存在的．其解题过程和一般非开放型问题的求解相类似．

③解题易错点是认为有参数的问题，都需要讨论，而这里并非如此．

2．定义法

[例3]设集合M={直线}，P={圆}，则集合M∩P中的元素个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．0 　　B．1 　　C．2　 　D．0或1或2

[分析]本题考查集合的交集与并集的运算，是一道概念性极强的试题，可使用定义法求解．

[解]因集合M={直线}，P={圆}，集合M∩P中的元素既是直线且又是圆，显然这样的元素不存在，从而M∩P=，答案选A．

[点悟]①解题关键点是正确理解集合的交集与并集的运算及M∩P的意义．集合的交集是由既属于集合A且又属于集合B的公共元素组成的集合，它强调的是“且”的关系；并集是由属于A或属于集合B之一的元素组成的集合，它强调的是“或”的关系．

②解题规律：定义法解题的一般步骤为：(ⅰ)分析和研究所给问题中已知的条件和待求的解题目标；(ⅱ)回忆有关概念的内涵和要点；(ⅲ)用定义去指导解题活动．

③解题易错点是将M∩P误认为是直线与圆的交点个数问题，从而误选D．本题若改为为常数，且a,b不同时为零}，，则M∩P中的元素个数应为0或1或2．

[例4]已知集合A={a，b，c，d}，B={a²，b²，c²，d²}，其中A?N^*，B?N^*，a<b<c<d，且A∩B={a,d}，a+d=10．

　 (1)求a、d；

　 (2)若A∪B中所有元素的和为124，你能确定集合A、B中的所有元素吗？

　　　 [分析](1)根据交集的意义及其题设，求解出a，d．

(2)由A∩B中的元素个数为2，而A与B的元素个数均为4个可知：A∪B中共有6个元素，且其中有四个元素分别为1，3，9，81，而另两个元素分别为x与x²．一个未知数，还有一个和的条件，可以求解x，进而可求得集合A与B．

[解](1)因A∩B={a,d}，且a<b<c<d，于是 a= a²，解得 a=1(a=0，不合，舍去)，从而 d=9．

(2)A={1,b,c,9}，B={1,b²,c²,81}．

　　　 因 A∩B={1,9}，故 3∈A，9∈B．

　　　 于是可设A={1，3，9，x}，B={1，9，81，x²}，其中x<9．

　　　 依题设有　 1+3+9+x+81+ x²=124， 解得 x=5(x= -6，不合，舍去)．

　　　 故 A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．

　　　 [点悟]①解题关键点是熟练掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互异性、无序性、确定性)进行解题．

②解题规律：对于递进型的综合问题，应采取各个“击破”，“分而治之”，直至“歼灭”的办法．

③解题易错点求集合的并运算，不是两个集合所有元素的简单迭加；另外容易忽视集合元素的互异性，即相同的元素在一个集合中只算一个元素．

[例5]在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

图1 (1)中，开关A闭合是灯泡B亮的　　 　　　条件；

　　　 图1 (2)中，开关A闭合是灯泡B亮的　　　 　　　条件；

　　　 图1 (3)中，开关A闭合是灯泡B亮的　　　　　 条件；

　　　 图1 (4)中，开关A闭合是灯泡B亮的　　　　　 条件．

[分析]首先根据电路的串并联知识，分析开关A闭合是否有灯泡B亮，然后根据充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件的含义作答．

[解](1)开关A闭合，灯泡B亮；反之，灯泡B亮，开关A闭合，于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件．

(2)仅当开关A、C都闭合时，灯泡B才亮；反之，灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要而不充分条件．

(3)开关A不起任何作用，故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件．

(4)开关A闭合，灯泡B亮；但灯泡B亮，只须开关A或B闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分而不必要条件．

[点悟]①解题关键点是正确理解充分与必要条件的含义，读懂图形语言，并掌握一些物理学知识特别是简单的电学知识，进行电路图的正确分析．

②“学以致用”已不是什么口号．重视知识的综合，体现时代的特点，渗透素质教育的内含，是一种大势所趋．

③解题易错点是对条件的充分与必要性区分不清，不能正确地读懂电路图．

1．化归与转化

[例1]已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}．集合C满足：①若将C中的各元素均减2，则新集合C₁就变为A的一个子集；②若将C中的各元素均加3，则新集合C₂就变为B的一个子集；③C中的元素可以是一个一元二次方程的不等实数根．试根据以上条件，用列举法表示集合C．

[分析]本小题重点检测文字语言向符号语言转换的能力．条件③即就是集合C中的元素个数为2．从子集的定义出发，并将条件①、②分别转换成另一种表述方式，可使问题顺利求解．

[解]将①换一种说法，即若将A中的各个元素均加2，得新集合A₁，则CA₁，即C{4，5，7，8，10}；将②换一种说法，即若将B中的各个元素均减3，得新集合B₁，则CB₂，即C{-2，0，2，4，7}．于是C({4，5，7，8，10}∩{-2，0，2，4，7})={4，7}．又由条件③知，集合C中的元素恰有两个，于是C={4，7}．

　　　 [点悟]①解题关键点是正确地将文字语言翻译成集合语言(或符号语言)．

②解题规律是当直接求解不易时，可考虑问题的反面或换一种表述方式，如本题中将“C₁为A的子集”换为“C₁A”，再换为“CA₁”；将“C₂为B的子集”换为“C₂B”，再换为“CB₂”，这样迅速地破解了问题．

③本题的一个拓广是：将条件③去掉，则问题便是求集合{4，7}的非空子集(想一想：为什么集合C不能为空集)，答案为{4}，或{7}或{4，7}．

[例2]设A=，B=．

(1)若A∩B=B，试求实数a，b所满足的条件；

(2)若A∪B=B，试求实数a，b所满足的条件．

[分析]利用A∩B=B与BA的等价性及A∪B=B与AB的等价性将问题进行转化，注意分类讨论思想的运用．

[解]解方程，得 x= -3或x=6，于是A={-3，6}．

(1)因A∩B=B，故BA，即B{-3，6}，从而B=，或B={-3}，或B={6}，或B={-3，6}．

若B=，则方程无实数解，于是⊿=；

若B={-3}，即方程有相等的实数根且该根为x= -3．从而由韦达定理可得a= 6，b=9；

若B={6}，即方程有相等的实数根且该根为x= 6．从而由韦达定理可得a= -12，b=36；

若B={-3，6}，即方程的两根为x= -3和 x=6．从而由韦达定理可得a= -3，b= -18．

综合上面的讨论可知，当A∩B=B时，或a= 6，b=9或a= -12，b=36或a= -3，b= -18．

(2)因A∪B=B，故AB，即{-3，6}B．又B为一元二次方程的解集，故B中的元素最多只有两个，从而A=B，于是a= -3，b= -18．

[点悟]①解题关键点是善于将A∪B=B等价转化为AB，将A∩B=B等价转化为BA ．

②解题规律是当已知方程的两不等实数根时，除可使用韦达定理求解a、b外，还可直接将两根均代入方程得到关于a、b的二元方程组，然后求解方程组得出a、b的值；如方程只有唯一的一个实数根m，则：实数根m满足方程且根的判别式为0．另外第(1)小题中的B={-3，6}的情形，也可这样求解：因B=A，故方程x²-3x-18=0与方程等价，利用对应项系数成比例即得a= -3，b= -18．

③解题易错点是遗漏空集亦满足性质：A∩=；另外结论的表示混乱，如将第(1)小题的结论表示成a=6或a= -12或a= -3，b=9或b=36或b= -18，及．

20．已知集合{1，2}，集合满足{1，2}，则这样的集合有　　　　　　　　　　　　 个．

19．设集合，，则集合{且}=　　　　　　　　　 ．

18．设集合，，且，则实数的取值范围是　　　　　　　　 ．

17．若集合{且}，则　　　　　　　　　　　 ．

16．定义{且}，若{1，3，5，7，9}，{2，3，5}，则　　　 ．

15．给定集合{，Z}，，，则下列关系式中，成立的是

　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)