4．已知平面，直线，点，有下面四个命题：

①若，则与必为异面直线；

②若，则；

③若，则；

④若，则。

其中正确命题的个数是(　 　)。

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

3．若条件，条件，则是的(　 　) 条件。

A．必要不充分　　　 B．充要　　　　　　 C．充分不必要　　　 D．不充分不必要

2．(　 　)。

　 A．　　　　　 　B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

1．复数，，且的实部和虚部互为相反数，则实数等于(　 　)。

A．　　　　　 　　B．　　　　 　 　C．　　 　　 D．

21．(本小题满分14分)已知函数

(1) 若在上单调递增，求的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.

试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.　　

解：(Ⅰ)由，得 ……………………2分

欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.………………4分

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. ………………………………………………6分

(Ⅱ)证明：由 得

　 ………………………………7分

　 ………………………………………8分

　 而　 ①　 ………………………10分

　　 又，　 ∴　 ② …………11分

∵　 ∴，

∵　 ∴　 ③　 …………………………………13分

由①、②、③得

即，

从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分

20.(本小题满分13分)

如图，是抛物线的焦点，是准线与轴的交点，直线经过点。

(1)　　　 直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；

(2)　　　 直线与抛物线交于A，B两点，

(Ⅰ)记的斜率分别为，求的值；

(Ⅱ)若点在线段上，且满足，求点的轨迹方程。

解： 依题意，直线斜率存在，设其斜率为，则的方程为，代入抛物线方程有：……………2分

(1)若，令得，，此时，的方程为。…………………4分

若，方程有唯一解。此时方程为………5分

(2)显然，记，

则，，………7分

(Ⅰ)………………………9分

(Ⅱ)设点的坐标为，∵，∴，

∴　 …………………11分　 ∴，………12分

由得，，又，∴。

综上，点R的轨迹方程为。…………………………13分

19． (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=，，．

(Ⅰ) 求点D到平面PBC的距离；　　 (Ⅱ) 求二面角的大小．

解：(Ⅰ)如图，在四棱锥中，

∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.

∵∠ABC=，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面　 PAB，………………2分

∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，

∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而，∴．………5分

　 即点D到平面PBC的距离为．………………6分

　(Ⅱ) ∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，

　 引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，

∴MN是CN在平面PAD上的射影，

由三垂线定理可知CN⊥PD，

∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分

依题意，，

∴，∴，

　可知，∴，

，∴二面角的大小为…… 12分

解法二：如图, A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

　 　 (Ⅰ)依题意，，

∴，

∴. 则，，，

，

∴，，.

设平面PBC的一个法向量为，则

　令，得，

则点D到平面PBC的距离等于．……………6分

　 (Ⅱ) ∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为.

设平面PDC的一个法向量为，

∵，，∴

令，得，∴.

∵二面角是锐二面角，∴二面角的大小为．……12分

18．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．　

解：设＝(x.y)，∵与共线x＝2y． ∴＝(2y,y)，又＝－＝(1―2y,7―y)，

＝－＝(5―2y,1―y)．

∴·＝(1―2y)(5―2y)+(7―y)(1―y) ＝5y²－20y+12

＝5(y―2)²―8≥―8．此时y＝2，＝(4,2)．

(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1,－1)，

·＝－8．

∴cos∠AQB＝＝＝－．

17． (本小题满分12分)某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．

(1)求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；

(2)如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数的概率分布列和期望．

解：(1)设5次实验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，则

P(C)=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)------------------2分

=1-=

所以5次实验至少2次成功的概率为.---------------------5分

(2) 的可能取值为2,3,4,5.

又∵；

　 -----------9分

(每对一个得1 分)

∴的分布列为：

	2	3	4	5
P

----------------------------10分

∴Eξ=×2+×3+×4+×5=-------------------------12分

16．(本小题满分12分)已知向量＝(cos⁴x,－1)，＝(1,cin⁴x+sin2x)，x∈R，f(x)＝·．

(1)求函数f(x)的最小正周期；　 (2)若x∈[0, ]，求f(x)的最值及相应的x值．

解：f(x)＝·＝cos⁴x―sin⁴x―sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos(2x+)．

(1)函数f(x)的最小正周期T＝π．

(2)．∵x∈[0, ]∴2x+∈[,]．

∴当2x+＝即x＝0时，f(x)_mox＝1．

当2x+＝π即x＝时，f(x)_min＝－2．