20. (本题满分14分)

　　 已知直线与曲线交于两点A、B。

　　 (1)设，当时，求点P的轨迹方程；

　　 (2)是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

　　 (3)是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

解：(1)设，则

　　 由消去y，得：

　　 依题意有解得：

　　 且，即或且

　　 ∴点P的坐标为：消去m，得：

　　 ，即

　　 由，得

　　 ，解得或

　　 ∴点P的轨迹方程为(或)………………5分

　　 (2)假设存在这样的常数a

　　 由消去y得：

　　 解得：

　　 当时，，且方程<2>判别式

　　 ∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分

　　 (3)假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。

　　 即

　　 即

　　 化简，得：

　　 ∵a为任意正实数

　　 ，即，矛盾。

　　 故这样的常数m不存在。………………14分

19. (本题满分14分)

　　 已知点满足：，且已知

　　 (1)求过点的直线的方程；

　　 (2)判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；

(3)求点的极限位置。

解：(1)由，得：

　　 显然直线的方程为………………3分

　　 (2)由，得：

　　 ∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：

　　 当n＝2时，点

　　 假设当时，点，即

　　 当时，

　　 ∴点

　　 综上，点………………8分

　　 (3)由，得：

　　 ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列

　　 即点的极限位置为点P(0，1)………………14分

22．(本小题满分14分)

　　 已知函数

　　　 (Ⅰ)若

　　　 (Ⅱ)若

　　　 (Ⅲ)若

的大小关系(不必写出比较过程).

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)设

……6分

(Ⅲ)在题设条件下，当k为偶数时

当k为奇数时……14分

21．(本小题满分12分)

垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P(x₀，y₀)

(Ⅰ)证明：

(Ⅱ)过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解(Ⅰ)证明：

　　①

直线A₂N的方程为　　 ②……4分

①×②，得

(Ⅱ)

……10分

当……12分

22．(本小题满分14分)

(理)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(文)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(理)解：设公差为，则．　3分

　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　14分

(文)解：设公差为，则．　　3分

，　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　14分

21．(本小题满分12分)

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

解：(1)设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　6分

(2)满足条件的圆心为，

，　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．

∴椭圆方程为．　　　　　　　　　　12分

20. (本小题满分13分)

　　 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且。

　　 (I)求证数列是等比数列；

　　 (II)设数列的公比，数列满足：

，试问当m为何值时，

成立？

解：(I)由已知

　　 　　(2)

　　 由得：，即对任意都成立

　　 (II)当时，

　　 由题意知

　　 　　　　　　　　　　　　　 13分

19. (本小题满分14分)

　　 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。

　　 (I)求此双曲线的渐近线的方程；

　　 (II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

解：(I)

　　 ，渐近线方程为　　　　　　　 4分

　　 (II)设，AB的中点

　　 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。(9分)

　　 (III)假设存在满足条件的直线

　　 设

　　 由(i)(ii)得

　　 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线。　　　　　　　　　 14分

8、已知函数，当点在的图像上移动时，

点在函数的图像上移动．

(1) 若点P坐标为()，点Q也在的图像上，求的值；

(2) 求函数的解析式；

(3) 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为

时有最小值而没有最大值．

解：(1)当点坐标为()，点的坐标为，…………2分 ∵点也在的图像上，∴，即．……5分

(根据函数的单调性求得，请相应给分) (2)设在的图像上 则，即　　 ……………………………………8分 而在的图像上，∴ 代入得，为所求．…………………………………11分

(3)；或　 等．　　 …………………15分 如：当时，

∵在单调递减，　 ∴　　 故 ， 即有最小值，但没有最大值．………………………18分

(其他答案请相应给分)

(参考思路)在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义(否则不能参加与的和运算)；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数)，即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．

7、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

　　 ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：(1)证：,∵a＞1，∴＞0，

　　　　　 ∴原不等式成立 (6¢)

　 (2)∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽

　　　　 为a＞0且a¹1 (9¢)

　 (3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)

　　　 证：左式-右式= (14¢)

　　　 若a＞1，则由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

　　　 若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)