同步练习册人民教育出版社八年级数学人教版山东专版
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1. 如图所示，网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（
B
）
A. 点G
B. 点D
C. 点E
D. 点F
答案：B
解析：三角形重心是三条中线的交点。在网格中确定△ABC的顶点坐标，分别求出AB、BC、AC边的中点，连接相应顶点与中点得到中线，三条中线交于点D，所以重心是点D。
2. 如图，G为△ABC三边中线AD、BE、CF的交点，S△ABC=12cm²，则阴影部分的面积为（
A
）
A. 4cm²
B. 5cm²
C. 6cm²
D. 8cm²
答案：A
解析：因为G是△ABC的重心，所以重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，即AG:GD=2:1。由此可知△BGD的面积是△ABD面积的$\frac{1}{3}$，而△ABD的面积是△ABC面积的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}×12 = 6$cm²，所以△BGD的面积为$\frac{1}{3}×6 = 2$cm²。同理，另一个阴影部分△CGE的面积也是2cm²，故阴影部分总面积为2 + 2 = 4cm²。
3. 如图，已知在△ABC中，CF，BE分别是边AB，AC上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长。
答案：5
解析：因为BE是AC边上的中线，AE=2，所以AC=2AE=4。因为CF是AB边上的中线，AF=3，所以AB=2AF=6。△ABC的周长为AB + AC + BC = 15，即6 + 4 + BC = 15，解得BC=5。
4. 如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点。
（1）若∠1=∠2=∠3=∠4，则以AE为角平分线的三角形有 ；
（2）如图，若AE平分∠BAC，且∠1=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线。
答案：（1）△ABC、△ADF
（2）∠3=15°
解析：（1）因为∠1=∠2，所以AE平分∠BAD；因为∠3=∠4，所以AE平分∠CAF。又因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠BAE=∠1 + ∠2=∠3 + ∠4=∠CAE，即AE平分∠BAC；∠DAF=∠2 + ∠3=2∠2，∠DAE=∠2，所以AE平分∠DAF，故以AE为角平分线的三角形有△ABC、△ADF。
（2）因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE。设∠BAE=∠CAE=x，则∠BAC=2x。∠1=∠2=15°，所以∠B=∠1=15°，∠ADB=∠2 + ∠B=15° + 15°=30°。在△ABD中，∠BAD=180° - ∠B - ∠ADB=180° - 15° - 30°=135°，即∠BAE + ∠2=135°，x + 15°=135°，解得x=120°，所以∠CAE=120°。∠4=15°，∠AFC=180° - ∠4 - ∠C=180° - 15° - ∠C，又因为∠BAC + ∠B + ∠C=180°，240° + 15° + ∠C=180°（此处错误，应为2x + ∠B + ∠C=180°，即240° + 15° + ∠C=180°不成立，重新计算：∠BAC=2x，∠B=15°，∠C=180° - 2x - 15°=165° - 2x。∠CAE=∠3 + ∠4 + ∠C，即x=∠3 + 15° + 165° - 2x，3x=∠3 + 180°，又因为∠DAE=∠2=15°，∠EAF=∠3，要证AE是△DAF的角平分线，需∠DAE=∠EAF，即∠3=15°，代入得3x=15° + 180°，x=65°，则∠BAC=130°，∠C=165° - 130°=35°，∠AFC=180° - 15° - 35°=130°，符合题意，所以∠3=15°。
