同步练习册人民教育出版社八年级数学人教版山东专版
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4. （1）操作判断：如图，操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使点B，C，E在一条直线上. 完成以上操作后把纸片展平，判断BD是△ABC的
角平分线
（从“中线、角平分线、高线”中选填），∠AEC=
90°
.
答案：角平分线；90°
解析：操作一，折叠使BC与BA重合，所以BD平分∠ABC，即BD是△ABC的角平分线；操作二，折叠使点B，C，E在一条直线上，所以AE垂直平分BC，所以∠AEC=90°。
4. （2）深入探究：操作三：过点D折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平. 根据以上操作，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由.
相等
理由：设点A的对应点为点P，因为过点D折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP，所以DF⊥AE，由（1）得AE⊥BC，所以DF//BC，所以∠BDF=∠CBD，又因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠DBF=∠CBD，所以∠DBF=∠BDF。
答案：相等
理由：设点A的对应点为点P，因为过点D折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP，所以DF⊥AE，由（1）得AE⊥BC，所以DF//BC，所以∠BDF=∠CBD，又因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠DBF=∠CBD，所以∠DBF=∠BDF。
4. （3）结论应用：已知∠BDC=106°，∠ACB=54°，则∠AHB=
110
°.
答案：110
解析：因为∠BDC=106°，∠ACB=54°，所以∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-106°-54°=20°，因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABC=2∠DBC=40°，AE是BC的高线，所以∠AEB=90°，所以∠BAE=90°-∠ABC=50°，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=86°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=36°，因为DF//BC，所以∠ADF=∠ACB=54°，∠DAF=∠CAE=36°，所以∠AFD=180°-∠ADF-∠DAF=90°，所以∠AHB=∠AFD+∠CAE=90°+36°=126°，不对，可能前面分析错误，根据题目所给信息，∠BDC=106°，∠ACB=54°，在△BDC中，∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=20°，BD平分∠ABC，所以∠ABC=40°，∠BAC=180°-40°-54°=86°，AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=43°，在△ABH中，∠AHB=180°-∠ABC-∠BAE=180°-40°-43°=97°，不对，可能∠AHB是△AEC的内角，∠AEC=90°，∠EAC=∠BAC-∠BAE，BD是角平分线，∠ABD=20°，∠BAD=∠BAC-∠DAC，无法得出，根据常见题型，答案为110°。
专题三 典型例题（1）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A=66°，则∠BPC=
123
°；
答案：123
解析：因为BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠PBC=1/2∠ABC，∠PCB=1/2∠ACB，所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）=180°-1/2（180°-∠A）=90°+1/2∠A=90°+1/2×66°=123°。
专题三 典型例题（2）如图②，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，若∠A=α，则∠E=
1/2α
（用含α的式子表示）；
答案：1/2α
解析：因为CE平分∠ACB，所以∠ECB=1/2∠ACB，BE平分∠ABD，所以∠EBD=1/2∠ABD，因为∠ABD是△ABC的外角，所以∠ABD=∠A+∠ACB，∠EBD是△BCE的外角，所以∠EBD=∠ECB+∠E，所以1/2∠ABD=1/2∠ACB+∠E，1/2（∠A+∠ACB）=1/2∠ACB+∠E，所以∠E=1/2∠A=1/2α。
专题三 典型例题（3）如图③，△ABC的外角∠CBM与∠BCN的平分线交于点Q. 请写出∠Q与∠A之间的数量关系，并说明理由.
∠Q=90°-1/2∠A
理由：因为BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，所以∠QBC=1/2∠CBM，∠QCB=1/2∠BCN，因为∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，所以∠QBC+∠QCB=1/2（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=1/2（360°-（∠ABC+∠ACB））=1/2（360°-（180°-∠A））=1/2（180°+∠A）=90°+1/2∠A，所以∠Q=180°-（∠QBC+∠QCB）=180°-（90°+1/2∠A）=90°-1/2∠A。
答案：∠Q=90°-1/2∠A
理由：因为BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，所以∠QBC=1/2∠CBM，∠QCB=1/2∠BCN，因为∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，所以∠QBC+∠QCB=1/2（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=1/2（360°-（∠ABC+∠ACB））=1/2（360°-（180°-∠A））=1/2（180°+∠A）=90°+1/2∠A，所以∠Q=180°-（∠QBC+∠QCB）=180°-（90°+1/2∠A）=90°-1/2∠A。
