同步练习册人民教育出版社八年级数学人教版山东专版
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（3）已知点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B. 若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数.
答案：30°或80°
解析：因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，所以∠EFC=∠ADC，AD//EF，∠DEF=∠ADE.
因为∠DEF=∠B，所以∠B=∠ADE.
DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠CDE，∠B=∠CDE.
DE//BC，∠CDE=∠BCD，所以∠B=∠BCD.
△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∠BDC=180°-2∠B.
因为△BCD是“和谐三角形”，所以∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC.
当∠BDC=4∠B时，180°-2∠B=4∠B，∠B=30°.
当∠B=4∠BDC时，∠B=4(180°-2∠B)，∠B=80°.
综上，∠B=30°或80°.
8. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$，那么我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”. 例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”.
（1）如图①，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB=90°.
①求∠A和∠B的度数；
②若CD是△ABC的边AB上的高，则△ACD和△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD. 已知△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数.
答案：（1）①∠A=60°，∠B=30°
解析：∠A+∠B=90°，∠A=2∠B，所以3∠B=90°，∠B=30°，∠A=60°.
②△ACD是，△BCD是
解析：∠A=60°，∠ACD=30°，∠A=2∠ACD，所以△ACD是“友爱三角形”.
∠B=30°，∠BCD=60°，∠BCD=2∠B，所以△BCD是“友爱三角形”.
（2）因为△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，
所以∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A或∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ADC(其余情况不合题意)。
当∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A时，∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A = 33°；
当∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ADC时，∠A + 3∠ACD = 180°，即3∠ACD = 114°，所以∠ACD = 38°。
综上所述，∠ACD = 33°或38°。
