同步练习册人民教育出版社八年级数学人教版山东专版
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22. 如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．请解决以下问题：
（1）①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=______；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A=40°，则∠C=______；
（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=52°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请求出∠APC的度数．
答案：（1）②130°或115°
解析：∠C＞90°，α、β为∠A、∠B，∠A=40°，若2∠A+∠B=90°，则∠B=10°，∠C=180°-40°-10°=130°；若2∠B+∠A=90°，则∠B=25°，∠C=180°-40°-25°=115°。
（2）∠APC=14°或38°
解析：∠C=90°，∠ABC=52°，∠BAC=38°。点P在射线CB上，△ABP是“奇妙互余三角形”。
①P在CB延长线上，∠ABP=180°-52°=128°＞90°，α、β为∠BAP、∠APB，α+β=52°。2α+β=90°时，α=38°，β=14°，∠APB=14°，∠APC=∠APB=14°；2β+α=90°时，β=38°，α=14°，∠APB=38°，∠APC=∠APB=38°。
②P在BC上，∠ABP=52°，α+β=128°，2α+β=90°或2β+α=90°均无解，故∠APC=14°或38°。
23. 在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）如图①，P为线段AD上一点，过点P作PE⊥AD交线段BC的延长线于点E．
①若∠B=30°，∠ACB=80°，则∠E=______；
②猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并给出证明．
（2）如图②，P在线段AD的延长线上，过点P作PE⊥AD交直线BC于点E，请直接写出∠PED与∠B，∠C之间的数量关系．
答案：（1）①25°
解析：∠B=30°，∠ACB=80°，∠BAC=70°，AD平分∠BAC，∠BAD=35°，∠ADC=∠B+∠BAD=65°，PE⊥AD，∠E=90°-65°=25°．
②∠E=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
证明：∠BAC=180°-∠B-∠ACB，AD平分∠BAC，∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB），∠ADC=∠B+∠BAD=90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB，PE⊥AD，∠E=90°-∠ADC=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．
（2）∠PED=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
