1.椭圆：（a>b>0）
　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b     　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b) 　　（3）焦点：(±c,0)
　　（4）离心率：e=∈(0,1) 　　（5）准线：

2.双曲线：（a>0, b>0）
　（1）范围：|x|≥a, y∈R 　　     （2）顶点：(±a,0) 　 　（3）焦点：(±c,0)
　（4）离心率：∈(1,+∞) 　　（5）准线：　　（6）渐近线：

3.抛物线：y²=2px(p>0)
　　（1）范围：x≥0, y∈R 　　（2）顶点：（0,0） 　　（3）焦点：（,0）

　（4）离心率：e=1 　   　（5）准线：x=-

主要题型：

（1）定义及简单几何性质的灵活运用；

（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。

★★★突破重难点

【例1】若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：

，

则该双曲线的离心率为（    ）

A．             B．              C．               D．3

解：由知四边形F₁OMP是平行四边形，又

知OP平分∠F₁OM，即F₁OMP是菱形，设|OF₁|=c，则|PF₁|=c.

又|PF₂|-|PF₁|=2a，    ∴|PF₂|=2a+c，

由双曲线的第二定义知,且e>1，∴e=2，故选C.

【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

解：（1）设曲线方程为，   由题意可知，.   . 

  曲线方程为.

（2）设变轨点为，根据题意可知

得 ，

或（不合题意，舍去）.

   .

   得 或（不合题意，舍去）.  

点的坐标为，.

答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令.

【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；

（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围

成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数l

使？请给出证明。

解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如

图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为

。

而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|

又，所以AC⊥BC

又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。

（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得

 (1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0①

因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是

  同理

这样，， 又B（－1，－1），所以，

即k_AB=k_PQ。所以PQ∥AB，存在实数l使。

【例4】如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁ ⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

解法一：如图建立坐标系，以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为

y²=2px (p＞0)，(x_A≤x≤x_B，y＞0)，其中x_A，x_B分别为A，B的横坐标，P=|MN|．

所以 M (－，0)，N (，0)．     

由 |AM|=，|AN|=3得

(x_A＋)²＋2Px_A=17，    ①

(x_A－)²＋2Px_A=9．     ②  

由①、②两式联立解得x_A=，再将其代入①式并由p＞0解得

或．

因为△AMN是锐角三角形，所以＞x_A，故舍去．

∴ P=4，x_A=1．

由点B在曲线段C上，得x_B=|BN|－=4．

综上得曲线段C的方程为y²=8x (1≤x≤4，y＞0)．

解法二：如图建立坐标系，分别以l₁、l₂为x、y轴，M为坐标原点．

作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为E、D、F．

设 A (x_A，y_A)、B (x_B，y_B)、N (x_N，0)．

依题意有

x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，

y_A=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有

x_N=|AE|+|EN|=4．

=|ME|+=4

X_B=|BF|=|BN|=6．   

设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

{(x，y)|(x－x_N)²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}．    

故曲线段C的方程

y²=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．     

第十七讲  圆锥曲线的定义、性质和方程(二)

【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，向量与是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点， F₁、F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；

解：（1）∵，∴。

∵是共线向量，∴，∴b=c,故。

（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ。

【例6】设P是双曲线右支上任一点.

   （1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求的值；

   （2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且的面积.