[教学重点]利用导数判断函数单调性

[教学难点]利用导数判断函数单调性

[教学过程]

问题1：函数在哪个区间上单调增、单调减？

问题2：在这些区间上切线的斜率有什么特点？

问题3：切线的斜率如何用数学式子表达？

问题4：对于一般的是否还有这一结论？

1. 函数的导数与函数的单调性的关系：

一般的，一个函数在某个区间I上单调增（减）是指：对于区间I内任意两个值x₁,x₂,x₁<x₂,有f(x₁)<(>)f(x₂),

变形即为正（负）的区间单调增（减）

如何与导数联系在一起呢？

令x₁=x,x₂=x₁+△x,于是决定于的正负，这样我们有：

定理：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y’>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y’<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

例1、确定函数f(x)=2x³－6x²+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

略解：f′(x)=(2x³－6x²+7)′=6x²－12x

∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.

∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

说明：用导数法判断函数在哪个区间上单调增或减的步骤为：

①求函数f(x)的导数f′(x).

②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解区间上单调增（减）

练习1：求y=x-x³在哪个区间上单调增？在哪个区间上单调减？

练习2：证明函数f(x)=e^x-x在区间(-∞，0)上是减函数

例2、确定函数f(x)=sinx-x在[0，2π]上的单调减区间

解：函数的定义域为R,f^/(x)=cosx->00≤x<或<x≤2π,又函数的图象在这两点处不断开∴函数的单调增区间为[0, ]及[,2π],同理单调减区间为[，]

说明：函数在哪个区间上单调与函数的单调区间说法的不同，后者一般包括了所有可能的值

思考：如何求一个函数的单调区间呢？（对于无常数函数段的可导函数y=f(x),其增区间为f^/(x)≥0的解与定义域的交区间，减区间为f^/(x)≤0的解与定义域的交区间）

练习1：已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间

练习2：

思考：定理的逆命题是否为真？（未必为真，还有端点值）

   例3、y=ax³-x²+x-5在R上单调增，求实数a的范围

解：y^/=3ax²-2x+1≥0对任意x成立，a=0时不满足要求；故，a≥

变形：在上单调增呢？

两点技巧：1用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解区间上单调增（减）

2、求一个函数的单调区间：对于无常数函数段的可导函数y=f(x),其增区间为f^/(x)≥0的解与定义域的交区间，减区间为f^/(x)≤0的解与定义域的交区间

四、作业课本P34  1、2 、5

[补充习题]

1、函数y=ax³-x(1)其递减区间为，则实数a的范围是_________________

 (2)它恰有三个单调区间，实数a的范围是_______________

2、函数f(x)=-ax,其中a>0，求a的范围使函数f(x)在上是单调函数，并指出单调性

3、设x>-2,n为正整数，比较(1+x)ⁿ与1+nx的大小

4、讨论函数f(x)=(-1<x<1且b≠0)的单调性

[补充习题解答解答]

1、(1)0<a≤1；(2)a>0

2、a≥1，单调减

3、计算f(x)=(1+x)ⁿ-(1+nx)的单调性，结果(1+x)ⁿ≥1+nx

4、b>0时，f(x)减；b<0时，f(x)增

[教后感想与作业情况]

§1.3.2  极值点(1)

[教学目标]

[教学重点难点]极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点都有f(x)＜f(x₀)，就说f(x₀)是函数f(x)的一个极大值，记作y_极大值=f(x₀)，x₀是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f(x)＞f(x₀).就说f(x₀)是函数f(x)的一个极小值，记作y_极小值=f(x₀)，x₀是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值

在定义中，取极值时自变量的值称为极值点，极值点不是点（类比零点），极值指的是函数值

用班级分组找年龄最大者说明极值概念

注意：

（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

思考1：函数y=f(x)极值f(x₀)满足什么条件？

（1）函数在(a,b)上可导；（2）在x=x₀两侧f(x)单调性相反（相应导函数值异号）

思考2：如何求函数的极值？

例1求y=x³－4x+的极值

解：  函数的定义域为R, y′=(x³－4x+)^/=x²－4=(x+2)(x－2)

f_极大(x)=f(-2)=,f_极小(x)=f(2)= －

总结：求函数极值的步骤：

一确（确定函数定义域）

二算（计算函数的导数）

三列（列出数轴、导函数的正负及相应函数的单调性）

四写（写出函数的极值，左正右负那么f(x)在分界值处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这分界值处取得极小值）

练习1：求y=x+的极值

练习2：教材P31---3

练习3：求y=(x²－1)³+1的极值

思考3：时是不是一定为的极值？（不一定，如f(x)=x³,f^/(0)=0但不是极值）

思考4：函数在极值处是否导数一定为0？（不一定，如y=|x|,0是极值，但导数不存在）

例2、f(x)=x³-ax²-bx+a²在x=1处有极值10，求a,b的值

解：函数定义域为(-∞,+∞),f^/(x)=3x²-2ax-b,由已知f^/(x)在x=1左右异号，f^/(x)=0有两个根且f^/(1)=0∴

练习：求函数y=2sinx-x在内极值

[补充习题]

1、求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值

2、求函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1(a≥1)的极值

3、设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8(1)若f(3)是函数的一个极值，求a;(2)f(x)在(-∞,0)上单调增，求a的范围

[解答]

1、f_极小(x)=f(2)=0, f_极小(x)=f(3+)=-; f_极大(x)=f(3-)=

2、极大值1，极小值1-(a-1)³

3、(1)a=3;(2)a≥0

[教后感想与作业情况]

§1.3.2  极值点(2)――求参数范围

[教学目标]

[教学重点难点]求参数范围

[教学过程]

二、应用举例

例1、已知函数f(x)=x³+ax²-(a-1)x+7有极大、极小值，求实数a的范围

解：函数的定义域为（-∞，+∞），f^/(x)=3x²+2ax-(a-1),f(x)有增有减，f^/(x)有两个不等的零点，△=4(a²+3a-3)>0,a>或a<

   练习：a>0,b>0,求f(x)=e^ax-2e^bx有极值的条件   (a≠b)

   例2、关于x的方程x³-3x+a=0有三个不等的实数根，求a的范围

   解：原方程可以化为a=-x³+3x,只要看y=a与f(x)= -x³+3x交点，为此需要求f(x)的单调性和极值，f(x)的定义域为(-∞,+∞),f^/(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)

f_极小(x)=f(-1)=-2,f_极大(x)=f(1)=2,这样f(x)的图象大致为

∴-2<a<2

练习：讨论f(x)=e^x(x²+ax+a+1)极值点的个数（a<0或a>4时有两个极值；0≤a≤4时极值个数为0个）

例3、a>0,f(x)=,b为常数

(1)说明其极值的个数   (2)若f_极大(x)=1,f_极小(x)=-1,求a

解：(1)f^/(x)=-,分子的判别式△=4(b²+a²)>0, f^/(x)有两个零点，对应的f(x)有两个极值点

(2)y=,yx²-ax+y-b=0,△=-4y²+4by+a²的两个零点为-1，1，于是a=2

四、作业

1、函数f(x)=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，试确定实数a,b的值，并求f(x)的单调区间

2、y=f^/(x)的图象如图，画出f(x)的大致图象

3、a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x在x=处有极值？它是极大还是极小值？极值是多少？

4、已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x²+bx+c的图象相切

(1)将c用b表示；(2)设函数F(x)=f(x)g(x)在实数集上有极值点，求c的范围

5、已知函数f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,0≤θ≤2π

(1)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使f(x)的极小值大于0，求θ范围

[解答]

1、a=1/3,b=-1/2,增区间、；减区间[-1/3，1]

2、

3、f^/(x)=acosx+cos3x,f^/()=0,a=2,为极大值

4、(1)b=-1+2  (2)(0,7-4)∪(7+4,+∞)

5、(1)无；(2)(π/6,π/2)∪(3π/2,11π/6)

§1.3.3 函数的最大值与最小值

[教学目标]

[教学重点]利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

[教学难点]函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一、复习引入：

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f(x)＜f(x₀)，就说f(x₀)是函数f(x)的一个极大值，记作y_极大值=f(x₀)，x₀是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f(x)＞f(x₀).就说f(x₀)是函数f(x)的一个极小值，记作y_极小值=f(x₀)，x₀是极小值点

3、图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．

思考：最值如何求？（一般根据图象和单调性，单调性与导数与极值相联系，所以可以用导数求函数的最值）引入标题：导数法求函数的最值

问题1.函数的极值与最值有什么区别与联系？

在闭区间上图象不间断的函数在上必有最大值与最小值，与极值的区别有

项目

极值

最值

特例说明

定义范围

点附近

整个定义域

存在性

未必存在，存在的话也未必惟一

一定存在，而且惟一

常数函数，上面的图象

大小关系

极大未必不小于极小大

最大一定不小于最小

2、如何根据导数求函数的最值？

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；（一确二算三列四写） 

⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

例1求函数f(x)=x+sinx在x∈[0,2π]的最值

_{解：f(x)定义域为}[0,2π]，在(0,2π)内_f/(x)= +cosx

_{f极大(x)=f()=+,f极小(x)=f()=-,又f(0)=0,f(2π)=π}

_{∴fmax(x)= f(2π)=π,fmin(x)=f(0)=0}

_{练习1：求f(x)=x+在[,3]上最值}

_{练习2：求y=x-x3在[0,2]上值域}

例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围

解：[方法一]设S=(xy)²=x²y²=x²=(-x⁴+2x³),  0<x<2,S_x^/=-(2x-3),当x=,S_极大=，∴0<xy≤

[方法二]原式为(x-1)²+(2y)²=1(x>0,y>0),设x-1=cost,2y=sint,0<t<π，xy=sint(1+cost)=f(t),f^/(t)=(2cos²t+cost-1)=(cost+1)(2cost-1),0<t<时，f^/(t)>0,f(t)↑；当<t<π时，f(t)↓，f_极大(x)=f()=∴0<xy≤

说明：必要时进行转化求解，转化过程中注意函数定义域

例3.设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b

解答：

说明：字母运算一定注意字母的范围

⑴求在内的极值；（一确二算三列四写） 

⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

[补充习题]

1、函数y=-x²-2x+3在区间[a,2]上最大值为，则a=_____________

2、函数y=4x³+3x²-36x+5在上的最大值为___________，最小值为__________

3、函数f(x)=x³-3ax-a在(0,1)内有最小值，则a的范围是___________

4、实数x,y满足x²+y²=2x,求x²y²的取值范围

5、已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.

6、求函数f(x)=(0<x<1,a>0,b>0)的最值

[答案]1、-；2、不存在，-28；3、(0,1)；4、[0，]；5、a=b=1;6、最小为(a+b)²,无最大值