1、数学复习的基本策略是“五看一练”

---看教材。高考命题从来都是以教材为蓝本编制的。回归课本，对课本的知识体系做一个系统的回顾与归纳，理解每个知识点的内涵、延伸与联系，重视教材中重要定理的叙述与证明，重视新教材中的有关内容(如向量、导数、概率、统计等)。

　　 注意不要放过一些较“冷”的概念，如简易逻辑、近似计算、球、欧拉公式、方向向量与法向量、导数的物理意义等。

---看专题。重点专题包括集合与函数，向量与三角，数列，不等式，圆锥曲线，直线、平面与简单几何体，排列、组合、概率与统计，极限与导数等。大多数专题讲座会对题型、解题方法、解题技巧进行归纳、总结，以便使复习更具有针对性。

---看考卷。对于自己曾经做错的题目，回想一下为什么会错、错在什么地方，以免解答高考同类问题时再次出错，被“同一块石头绊倒”。

高考解题能力的提高上有没有类似的“诀窍、捷径”呢？有！但使用这些“诀窍”的前提是你必须能付出汗水和代价，这样的学习“诀窍”才有效果。我们不提倡题海战术，是防止同学陷入题海中不能自拔，盲目无效地大量重复做题而被题海“淹死”。下面介绍一些北京大学、清华大学的高考状元们快速提高解题能力的捷径，以帮助同学们少走弯路，跳出题海。

知识是此岸，能力是彼岸，中间隔着一条思维之河。快速提高解题能力的十大诀窍就是帮助同学们由此岸驶向彼岸的船。

诀窍一：建立自己的小题库。新题是永远做不完的，把自己做过的错题、妙题、单元中有代表性的典型题、试卷中的压轴题、疑问题、热点题、老师在黑板上板书的重要例题、参考资料中有钻研价值的好题，精心挑选出来，剪辑粘贴汇编成自己的小题库。建立自己的的小题库，就是把题海中寻觅到的各色美丽“贝壳”串起来，可以慢慢从“贝壳”中欣赏吸取解题的美感和营养。

小题库里的习题都是自己认真思考过的，深深烙上自己思维的痕迹，浓缩沉淀了自己解题智慧的精髓，和书店琳琅满目的参考资料相比，更是有不可替代的使用价值。每当考试前翻一翻，对预热启动解题思维、丰富解题感很有帮助。特别是看到自己做出这么好的题目，心底会产生一种莫名的成就感，对考试解题的信心油然而生。

诀窍二：养成题后做总结的好习惯。在考场上，同学们或许有过思如泉的经历，看到题目稍一分析就打开思维的阀门，找到解题的钥匙。这种“题思如泉”的超常发挥，根源于题后经常做反思所积累的丰富题感。

提高考场上快速解题能力的途径无非有两种：一种是以量取胜的题海战术，另一种是靠质靠精取胜的题后总结。请同学们深思下面两个问题：一份高考试卷上，有20多道题目。如果你考试前做了几千道练习题，高考中能碰上几道平时做过或者与此相类似的题目？这样碰题押题成功的概率有多大？解答一张高考试卷，要用上几十种不同的分析方法、解题方法和解题技巧。用自己摸索出来几十种解题规律和方法去解答高考试卷，解题成功率和只靠大量做题的题海战术相比，哪一种更有成功的把握？为什么只顾埋头做题忽略题后总结的同学，在考试前会有一种心中茫然不踏实的感觉？打这样一个比喻：大量做题好比是播洒庄稼的种子，并管理施肥。题后的收获总结，对解题规律的归纳梳理就是收割成熟的稻谷，使之“颗粒归仓”。在付出大量的辛勤汗水之后，不去收获丰收的粮食--各种宝贵的解题心得，自然两手空空，胸无成竹。这方面的教训是很多的。

清华大学电子工程系的李晶晶同学说：高三时我属于那种惟恐做题不够的类型，将所能找到的几乎所有关于物理竞赛的书都翻看过。然而有一次，一位同学告诉我，他的一位同学在另一所中学的理科实验班里，也是学物理竞赛，他仅仅只是钻研过一本竞赛参考书，很认真地对每道题都反复思索过，总结过，甚至常常在原题基础上改写一些新题，他的物理竞赛成绩却是最好的(1999年物理国际奥林匹克金牌)。那本书我也见过，是本很好的教材，但是我看过，做完也罢了。当时我并未在意这位同学的话，直到竞赛结束后，我彻底静下心来，回头看看以前读过的书和做过的题，才感觉到如果当初不那浮躁，不那么急切地一心只想往前面赶，如果当初真正做到一题有一题的收获，真正做到一步一个脚印，恐怕我的基础要牢靠很多，进步反而要快得多，也不会有那种付出精力却没有收获的感觉。

多做题后总结积累能提高解题能力的原因在于：某一类题型做得再多，仅是停留在肤浅的表层思维上，借助题后收获的反思归纳，找出解题规律之后，就在表层思维上再拓深一步，变成大脑的深层思维，烙印在潜意识中。

对解题后收获心得进行总结积累大致有以下几种：

解题总结的方式有每周总结、考后总结、阶段总结、单元总结、学科总结等。题后收获总结的内容可以按专题形式记录在笔记本里，也可以用小随笔、批注、点评、感受、提示、符号等形式补充书写在习题的空白之处。考前翻一翻，回味一下，随时触发解题的灵感。

记住：“题海无边，总结是岸”，“题海泛游，总强是舟”。养成题后闭目静思三分钟的好习惯，胜过苦苦做题三大本。

诀窍三：记题。这是一种培养解题能力的“笨”办法。“笨”办法自有妙和。前面已介绍过一位高考状元用大量记题的“笨”办法攻克立体几何的难关。题做多了，都会有似曾相识的感觉。而且，同学们在大量做题时会体验到这一点：某一单元的习题就是把有限的几种题型、有限的几种解题方法、有限的几种解题技巧和思路以知识考点为线索串联组合而成。搞清这一点，就可以理解记题的必要性。

理科的记题效果比文科的记题效果要好一些，这是因为理科学习内容有很强的迁移性。下面介绍两位高考骄子的记题经历：

北京大学经济学院的黄敏同学说，数学惟有大量做题，并大量记题型。我曾戏谑地称之为“笨人有笨办法”。做题，培养题感与技巧；记题型，遇到同类型时套上，效果很好。政史不分家，学习时相互渗透运用，用唯物主义辩证法分析历史，用历史唯物主义阐述政治，二者完美结合。同时运用不同学科知识，效果很好。文科试题有很强的连续性和脉络性，很多选择题都靠每一感觉。那似乎是一种神奇的力量在引导我们，不必究根底问为什么。对这种感觉出来的答案我常称之为“不求甚解”。

西安交通大学机械工程学院的杨帆同学说，做题之后做一个总结，取其精华，将妙例收录。这需要我们平时必须做够一定数量的题目。以前有“读记唐诗三百首，不会作诗也会吟”，而现在我要说“熟记理科三百题，不会作题也会解”，这便是告诉大家不要将记忆全部认为是文科才有，而理科只须理解。理科记忆的东西也不少，脑中必须有一些做题的思路，或者说是模式供给的东西，也就是是说，当你遇到一个题目时，马上会意识到它要考查什么内容，从而给出正确的解答思路。尤其是在考试中，对我们普通同学来说，时间并不充足，我们没有时间去分析每个题目，如果我们练出这种“慧眼识金”的本领，对我们来说是再好不过的了，这样我们不需要再“摸黑探求”了。

记题要精挑细选。教材上的例题、高考的典题、资料上的佳题、老师讲述的精题、考试中的错题，均可作为记题的首选。记题要和前面介绍的建立小题库的办法配合起来使用，此类习题记住领会几题可带动搞懂一大片相似的习题。

同时还要注意：①记题要有代表性。②决不记偏题、怪题、冷题。③掌握熟练内容的题目可少记或不记，薄弱章节的题目可多记④要分类按知识点、章节、单元记题。⑤先彻底弄懂后再记。⑥熟记后要反复揣摩解题方法，探究解题规律，使之融化在脑海里。

以物理复习中的记题做一个数学分析，物理复习共有六大单元，每一个单元精选出三四十道有代表性的典题，共有二百多道高质量的好题熟记于心，这二百多道典题反复深思吃透之后，大脑酝酿出丰富的物理题感，摸索各类题型的解题规律，考试中的解题灵感就有了“活水源头”，对付高考卷面上占80%份量的基础题和中档题应是绰绰有余。

诀窍四：每天定量做小题。填空题、选择题、判断题、改错题等，题型分值虽小，却极具技巧性。“麻雀虽小，五脏俱全”。一道好的小题，往往将知识、技巧、方法、基础、思路、考点等内容熔于一炉。一道大题的分值和三道小题相当，但后者花费时间少，涉猎范围广。拳不练手生，曲不练口生，许多高考状元在复习时间极为紧张的情况下，每天宁肯不做大题也要坚持做几道小题。

诀窍五：分类做题。分类做题要比一揽子做题效果好。一位教育专家曾做过如此对比：甲、乙两班均做100道习题，甲班把这100道习题全部打乱，每天随机抽出20题做完。乙班则按单元知识点分类，按顺序每天做20道，五天后，两班同时测试，乙班比甲班要高出许多。

分类做题易把题目琢精琢深理透，一揽子做题犹如蜻蜓点水，泛泛而过。所以你看到周围同学综合套题做了一大张又一大张，表面看起来很刻苦，其收获还不如做几个分类练习的收获呢。

北京大学法律私法的刘勇同学说，我在高三学习做题时，发现几点特别重要：首选，专题训练效果大于综合训练效果。专题训练有利于对专题知识的理解和把握，而综合训练题只不过是用来检验学习效果和适应高考，它对水平的提高是极其有限的，综合训练到高考前做几套就行了，做多了反而浪费精力和时间。其次，应对试卷习题目价值分类，好的仔细研究，次的大概做一下就行了。再次的挑选几道有价值的练习一下扔掉算了。

诀窍六：会鉴别挑选有价值的习题集。一位美国教育学者说：“学习中最珍稀的资源仅有两种--时间和注意力”。一道道好题，犹如一篇篇美文启迪我们的心智；一道道名题，就是题海中一颗颗珍珠备受老师和考生的推崇；一道道精题，好像一枚枚橄榄一样越思越有味。现在习题集、参考资料、复习用书铺天盖地，里面习题良莠不齐，沙珠混杂。学会鉴别挑选有价值的习题，就是去寻找题海中的珍珠，把时间花在刀刃上，做一题有一题的收获。

诀窍七：从不同角度研究揣透历年的高考试卷。高考试题是命题专家们智慧的结晶，其试题内容权威性强、含金量之高是那些靠剪刀加浆糊粗制滥造的低劣复习资料所望尘莫及的。历年高考试题，是题海中的名品。如果考生们能真正把历年高考试题研究透彻，就等于提高摸到来年高考试题的脉搏。把每年高考试题的精髓融化在脑海里，比做十本东拼西凑的习题集还有价值，特别是积累起来那种对高考试题难以名状，却内心一致默契的题感，更是考场上超常发挥、迸发灵感的源泉之一。

北京大学社会科学系的欧阳觅剑同学说：高三的时候，我看了历年试卷，前后看了三遍，先是分年度看，然后分学科把每年的看一遍，最后分题型看，每一次看，我都有新的感觉，都对高考试题有更深的把握。对高考试题保持一种研究的态度，我去发现其中的规律，这样高考试题不再是决定我前途的“判官”，而是我的“研究对象”，我用我的思维是解剖它，而不是它支配我的行动。我每次分析高考试题都有一点收获，而每一点收获又使我有一种快感。这种畅快的心情便化作了必胜的信心。

诀窍八：小专题练习。综合性练习便于发现复习中隐藏很深的问题，一般用于阶段性复习结束的验收。小专题练习是围绕一个特定内容进行的强化性练习，其好处是有利于集中时间啃“硬骨头”，提高做题效率。小专题练习的题目，一般是针对自己复习中薄弱内容专门攻关。如立体几何的证明、复数的意义、中国近代史、细胞基因、当今热点问题等，都宜采用小专题形式练习，一块一块分而歼之，既可啄精吃透，一劳永逸，又可节省宝贵的复习时间。

诀窍九：适当放弃高难度习题，专攻基础题和中档题。高考卷面上，中档题和基础题份量点80%。专攻基础题和中档题，不仅见效快，高考成功可能性有把握，而且极易树立高考冲刺的信心。同学们真正能把基础题和中档题搞得滴水不漏，就是解答高考试卷上的压轴题铺垫了扎实的基础。考场上能有幸解答压轴题的同学，无非靠两样：一是平时扎实的做题基础，二是临场超水平的发挥。

诀窍十：做大题时要选择带有思路分析、指点提示或标准答案的。钻研大型综合题耗费时间多、涉及面广，做题时极易钻入牛角尖中出不来。大题无论做对做错，均需用标准答案、思路来提示校正一下自己思考解题中的误区。这些标准答案、思路提示、方法点津如同一面镜子，既能照出自己钻研思考上正确的地方，也能折射出自己解题中的误区，正反两个方面都有收获--知道自己做对了是一种很高兴的收获，发现自己错在何处更是一种有价值的收获。这样，不致于思考半天，对错均不知，心中不踏实，还浪费做题时间。

例1函数 的最大值不超过，对任意，，数列，证明：对一切

综合类型 函数，数列，不等式交汇

例2. f(x)是R上不恒为o的函数，对任意a，b∈R，有f(ab)=af(b)+bf(a)。 (1)判断f(x)的奇偶性；(2)f(2)=2， 求数列前n项的和

综合类型：函数，数列交汇

例3. 　对任何都有

　　 数列各项是正数，时，

　　 (1)证明：对任何

　　 (2)*{a_n}是否有极限？若有，写出极限值；

　　 (3)求一个正整数N，n>N时，对任何b>0，都有

综合类型：数列，不等式，极限交汇

例4 .函数

方程 =0的全部正根由小到大排列成数列{x_n}

(1)　　　 证明：数列{f(x_n)}是等比数列；

(2)　　　 设数列{ }的前n项和为，求

综合类型 函数，导数，数列，极限交汇

例5. 函数f(x)=xlog₂x+(1-x)log₂(1-x)　 (0<x<1)

(1)　 求f(x)的最小值；

(2)　 设证明

综合类型，函数，导数，数列，不等式交汇，拼合

例6是公差d≠0的等差数列，是前n项和。

1) 证明：对任意m,n∈N₊,都共线，

2)，是否存在圆，使所有点都不落在该圆外部？若存在，求半径最小的圆。

综合类型：数列，向量，解析几何交汇

例7设

把a，b，c，d，e由小到大写成不等式链

[例8]函数g(x)=x lnx　 证明:

当0<a<b时,总成立

　[例9]函数f(x)=lnx, 　

(1)b=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)存在减区间,求a的取值范围

(2)函数f(x)的图象与函数g(x)的图象交于P,Q两点,过PQ中点作x轴的垂线, 与曲线y=f(x)，y=g(x)分别交于M，N点，设曲线y=f(x)在M处的切线为，曲线y=g(x)在N处的切线为，证明 ||

例10.某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M(t)与年数t满足关系式(其中为鱼苗成本，)。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少(设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤)。

例11.过椭圆的左焦点F₁的弦AB，过A，B分别向左准线引垂线，垂足分别为M，N，当线段MN最大时，求直线AB的方程。

例12.已知椭圆C：(a＞b＞0)的长轴两端点为A、B， (1)过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB=时，求C的离心率； (2)如果C上存在一点Q，且∠AQB=120⁰，求C的离心率的范围。 例13.按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程。

例14.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么年后若人均一年占有千克粮食，求出函数关于的解析式。

分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。

评述：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间的总产值可以用下面的公式，即

解决平均增长率的问题，常用这个函数式。

例15.购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算(上月利息要计入下月本金)，那么每期应付款多少(精确到1元)？

例16. 已知数列{a_n}满足a₁＝2，对于任意的n∈N，都有a_n＞0，

且(n+1)a+a_na_n+1－na＝0，又知数列{b_n}:b₁＝2^n－1+1 (1)求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n； (2)求数列{b_n}的前n项和T_n； (3)猜想S_n和T_n的大小关系，并说明理由.

7、结束语

从哲理上看，交汇式混合综合题一般采用分解、剖析方式，。有的题目各板块联系松散或生硬，这时宜各个击破，有的题目各板块联系密切，形成互相渗透、互相制约的胶着状态，则要层层剥离，一举合歼，或者采取程序化递推方式，以便由简入手，探究深层规律。编制综合题与解答综合题都包含数学工作者创造性的劳动，并不是一件简单的事情，编制综合题要恰当、要自然、要体现能力考查的方向，要体现现新课标的理念，要严谨。

推荐一个综合题：(函数、不等式、坐标平面区域、二次曲线综合)

设集合

,已知，在 平面上画出点()所占区域的示意图。

供讨论的解答见画斜线的区域(不包括边界)。

2、证明{x_n}是等差数列。

评：这是把点列、数列、抛物线系、数学归纳法这些不同范畴的数学对象与方法拼合成的题目，有互为载体、互相渗透、互相限制的特点。

解题方法是层层剥离，递推，程序化地求解。

[例7]的三内角对边边长为，且成等比数列，，又知，求的值。

评：这是解三角形与数列、向量结合的题目，属于拼合各单元板块的方式，解题方法是各个击破。

象例7这样，看来综合题也不一定都是大题和难题。

[例8]向量，函数是区间(-1，1)上的增函数，求的范围。

评：本题是板块拼合方式，解题的基本思路是各个击破，逐段化解矛盾。

1、求x₂及C₁的方程；

6、　 例题选析

[例1]椭圆中心在原点，焦点在x轴上。斜率为1，且过椭圆右焦点F的一条直线交椭圆于A，B两点，与共线,⑴求椭圆的离心率,⑵设M为该椭圆的任意一点，

证明为定值。

评：向量条件与解析几何的几何内容间是拼合关系，渗透关系。解题中采用的是分解，互相支援方式。

[例2]设函数求使的x的取值范围。

评：函数与不等式结合是拼合方式，解题中采用是各个击破法。

[例3]为平面上过点的直线，其斜率等可能地取用表示坐标原点到的距离，求随机变量的数学期望的值。

评：题目是解析几何中直线与离散型随机变量的数学期望两个板块的结合。解题中采用了“步步为营，各个击破”战术。

[例4]设函数的图象是从坐标原点出发的一条折线，当时，图象是斜率为的线段。

数列由定义，求函数的解析式及定义域。

评：本题属于函数、数列和极限的模型式，互为载体，互相制约。

采用的解题方法是互相渗透，互相支援，一举合围法。

[例5]　 R上的函数f(x)具有性质：对于任意x∈R，都有axf(x)=b+f(x) (a,b为常数,ab≠0),且f(1)=2 ,方程f(x)=2x恰有1个解。

(1)　 求f(x)，

(2)数列{a_n}定义如下：a₁=f (1)，

n≥2,n∈N₊时，数列{a_n}的前项和S_n,满足

探求{a_n}的通项公式。

评：本题是函数、数列、方程的综合题，属于互为载体拼合式，解题方法是各个击破；层层剥离。

[例6]点到A_n(x_n,0), P_n(x_n,2^n-1),

抛物线系列C_n　 y=x²+a_nx+b_n

其中a_n= -2-4n-(1/2^n-1)

数列{X_n}定义如下：

x₁=1，

点P₂在抛物线C₁上，即在y=x²+a₁x+b₁上，且|A₁P₂|是点A₁与抛物线C₁上各点距离的最小值。

点P₃在是C₂ 上 ，|A₂P₃|是点A₂与抛物线C₂上各点距离的最小值。

………

一般地，点P_n+1在是C_n 上 ，|A_nP_n+1|是点A_n与抛物线上各点距离的最小值。(n∈N₊)

5、　 解数学综合题的基础：

①知识基础---概念清楚，理解透彻，有条理，合逻辑。基本数学思想方

　　　 法应当熟练掌握，有基本数学技能，有清晰的解题计划。

②认识基础---能用数学眼光看各板块间联系，能用对立统一观点认识

各板块间的联系，能确立主要矛盾与矛盾的主要方面，

心态平和，用研究的方式思考。

4、　 解答数学综合题的基本对策与方法

基本对策：分解

基本方法：

①各个击破，步步为营法

②互相渗透，互相支援，一举合围法

③剥离，设计程序化方案，递推解决法。

3、　 综合题设置的目的

检查考生对各知识网络交汇处的联系能力,

对主干数学思想方法的理解水平,

对多信息量，以及对较复杂局面的控制能力。