1．设集合A＝{5，log₂(a+3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝　 　　　　　．

3．[必做题](本题满分10分)

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，，为的中点．

　 (Ⅰ)求证：；

　 (Ⅱ)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值；

　 (Ⅲ)在上是否存在一点，使平面？如果存在，求出的长；若不存在，说明理由．(选自福州三中第三次月考理)

提示：如图，以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，．　　　　　　　 ……2分 (Ⅰ)，， 所以，即．　　　　　 ……2分 (Ⅱ)平面的法向量为． 设平面的法向量为，． 由得所以 取，得． 所以，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分 (Ⅲ)假设在存在一点， 设， 因为，故， 所以，所以． 因为平面，所以与平面的法向量共线， 所以 ，解得，　　　　　　　 所以，即，所以．　　　　 ……10分

点评：该题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量的共线与垂直、直线的方向向量与平面的法向量；是中档题。

2．[必做题](本题满分10分)

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

(I)有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值．(北京市宣武区理改编)

提示：(I)记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，所以， ，由题意：所以，

　 至少7张“海宝”卡………………………………………………4分

(Ⅱ)-的分布列为；

	0	1	2	3	4

　，．…………………………………………10分

点评：该题考查乘法原理、排列组合、二项式定理、n次独立重复试验的模型及二项分布，是中档题。

1.已知,若对任意实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围. (选自福建上杭一中12月月考理)

提示:

　 …………………………………………5分

又对任意实数a,b,c恒成立,

解得　　　　 ………………………………………10分

点评：该题考查柯西不等式、绝对值不等式求解；是容易题。

3、设关于x的方程有两个实根、，且.定义函数

(1)求的值；

(2)判断在区间上的单调性，并加以证明；

(3)若为正实数，证明不等式：

(1)解：∵是方程的两个实根

　　　　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　 ∴　

　　　　　 同理　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　 ∴　　　　　 …………3分

(2)∵

　　　 ∴　　 …………4分

　　　 当时，　　

而

∴在上为增函数　　　 …………7分

(3)∵且

　　　 ∴

　　 ∴　　　　 …………9分

　　 由(Ⅱ)可知

　　 同理可得　　　　　 …………9分

　　 ∴

　　 ∴　　　 …………11分

　　 又由(Ⅰ)知

　　 ∴

　　 所以 　　　…………12分

2、设，函数.

　(1)若在区间上是增函数，求a的取值范围；

　(2)求在区间上的最大值.

(1)解：对函数 ……………………… 1分

要使上是增函数，只要上恒成立，

即上恒成立 ……………………………………3分

因为上单调递减，所以上的最小值是，

注意到a > 0，所以a的取值范围是 ……………………………………5分

(2)解：①当时，由(I)知，上是增函数，

此时上的最大值是 ……………………7分

②当，

解得 ……………………………………………………8分

因为，

所以上单调递减，

此时上的最大值是………… 11分

综上，当时，上的最大值是；

当时，上的最大值是 ……………12分

1、已知函数，.

(1)如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(Ⅰ)解：当时，在上是单调增函数，符合题意．………1分

　　　　　 当时，的对称轴方程为，

由于在上是单调增函数，

所以，解得或，

所以．　　　　　　　　　　　　　 ……………………2分

　　　　　 当时，不符合题意．

　　　　　 综上，的取值范围是．　　　　　　　　　 ……………………3分

　(Ⅱ)解：把方程整理为，

即为方程.　　　　　　　　　 ……………………4分

　　　 设 ，　　

原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.　　　　　　　　　　　　 ……………………5分

　　　 　　　　　　…………………6分

　　　 令，因为，解得或(舍)　 …………………7分

　 当时, ,　 是减函数；　

当时, ，是增函数.　　　　　 …………………8分

在()内有且只有两个不相等的零点, 只需

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………11分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………12分

3．已知中，角的对边分别是，且满足．

(1)求角的大小；

(2)设，，求的最小值．

[解析](1)由于弦定理，

有，，

代入．得，

即，

∵，∴，　　　

∵，∴，∴，

∵，∴．

　(2)∵，∴，，

∴

　　．

上式当且仅当时，取等号，此时是等边三角形．

2．半径为，是互相垂直的直径，沿将圆面折成大小为的二面角．

　(1)当时，求四面体的表面积；

　(2)当时，求异面直线与所成的角；

　(3)当为何值时，四面体的体积？

[解析](1)由已知，易得，

∵

∴为二面角的平面角，在中，得

于是是全等的正三角形，边长为，而为全等的等腰直角三角形.

∴四面体的表面积

　.

　 (2)(方法一)设中点为，中点为，连，则,

则为异面直线与所成的角，连，由(1)可得，

所以.

　 (方法二)∵，

　 ∴分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则有

，

　 ∴

　设异面直线与所成的角所成的角为，

　 则

所以异面直线与所成的角为.

　(3)如图，作于，

∵，∴平面，从而

∴平面，∴为四面体的高，

在中，，

∴，

当时，解得，所以或.

1. 在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在岛北偏东、俯角为的处，到时分又测得该船在岛北西、俯角为的处．

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)在点处，该船改为向正南方向航行，而不改变速度，分钟后到达什么位置(以点为参照点)？(参考数据：)

[解析](1)在中，，，∴ (千米)

在中，，

∴ (千米)

在中，

∴

∴船的航行速度是(千米/小时)．

(2)设交南北轴于点，延长交东西轴于点，则

，，

设分钟后该船到达点，因为该船向正南航行，所以,

分钟所走的航程是(千米)，

在中，由余弦定理得：

　，∴(千米)

∴是直角三角形，，而，

∴．

∴分钟后该船距离在点西偏南，距离点千米处．