3．(师大附中理)设是半径为2的球面上四个不同的点，且满足两两互相垂直，则的最大值是__________。

答案：8

2．(肥城市第二次联考)如右图所示，在正方体中，分别是

，的中点，则以下结论中不成立的是(　 C　 )

A．与垂直　 B．与垂直　

C．与异面　 D．与异面

答案 C

解析：连结，在中，，所以A、B、D正确，C错，选C。

1．(师大附中理)如图1，是正方形所在平面外一点，平面，，则与所成的角的度数为

　　 A．　　　　　　　　 B．

　　 C．　　　　　　　　 D．

答案：C

2010年联考题

4. (2008福建18)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，

其中BC∥　 AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

(Ⅰ)求证：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小；

(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ)证明　 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解 　以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

(Ⅲ)解 　假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由，得

解y=-或y=(舍去)，

此时，所以存在点Q满足题意，此时.

3. (2008湖南17 )如图所示，四棱锥P-ABCD的底面

ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

　 (Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的

坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，

P(0，0，2),

(Ⅰ)证明　 因为，

平面PAB的一个法向量是，

所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)解　 　易知　

　　　 设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

　 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取

于是，

　 故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是

2. (2008安徽)如图，在四棱锥中，底面四边长

为1的菱形，, , ,为

的中点，为的中点

(Ⅰ)证明：直线；

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为

轴建立坐标系

,

(1)证明　

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)解　 设与所成的角为,

　 　, 与所成角的大小为.

(3)解　 设点B到平面OCD的距离为，

则为在向量上的投影的绝对值,

　　　 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

1. (2008全国Ⅱ19)(本小题满分12分)

如图，正四棱柱中，，点在上且．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．依题设，．

，

．

(Ⅰ)证明　 因为，，

故，．

又，

所以平面．

(Ⅱ)解　 设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．

14.(本题满分14分)

如图，在直三棱柱中，,

,求二面角的大小。 　　

简答：

2008年高考题

解答题

12．(本小题满分12分)

在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

(1)求证：平面⊥平面；　 　　　　　

(2)求直线与平面所成的角的大小；

(3)求点到平面的距离.

方法二：

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

　所以所求角的大小为。

(3)由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

19(本小题满分12分)

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互

相垂直，△是等腰直角三角形，

(I)求证：；

(II)设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(III)求二面角的大小。

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B(0，1，0)，D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

　(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

　　 M ( 0,0, 　),　　 P ( 1, ,0 ).

　　 从而=,

于是·=·=0

　　 　所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

　　　 故PMM∥平面BCE.　　　　　　　　　　　　　 ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=(x,y,z).

　，　　　　　　　

　　　　　　　　 即

取y=1，则x=1，z=3。从而。

取平面ABD的一个法向量为。

。

故二面角F-BD-A的大小为arccos。……………………………………12分