4．转化与化归的思想

　在解决恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．

例4　已知函数　，，若对任意，＞0恒成立，试求实数的取值范围．

解：在区间［1，+)上，＞0恒成立恒成立．

　设，

　∵　＝递增，

　∴当＝1时，，当且仅当＞0时，函数＞0恒成立．

　故＞－3

3．分类讨论的思想

　在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题中，一般需用分类讨论的思想方法．

　例3　已知函数在区间［－，2］上的最大值为1，求实数的值．

解：＝0时，＝－－3，在［－，2］上不能取得1，故0．

　(0)的对称轴方程为

　(1)令，解得＝－，此时［－，2］

　∵　＜0，最大，所以不合适．

　　(2)令，解得＝，此时［－，2］

∵　＝＞0，　∴最大，合适．

(3)令＝1，解得＝，验证后知只有＝才合适．

　综上所述，＝，或＝．

2．数形结合的思想方法

　函数的图像直观地显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题．

　　 例2 方程的解的个数是(　　 )

　　 A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个　

解：在同一坐标系画出函数

及的图像，

如图2，他们的图像有两个交点．故选C．

1．对应的思想

在本章中，映射是一种对应，函数是一种对应，并且函数是按照某种对应关系建立的从定义域到值域的映射，因此函数的定义域、对应关系确定以后，值域就确定了，在解题中，一定注意函数定义域．

例1　已知集合M＝{1，2，3}，N＝{4，5}，函数以M为定义域，以N为值域，则这样的函数共有------

解：

　　　　　　　　图1

由图可知，这样的函数共有6个．

5．正比例函数模型

　 例5　 一个圆柱形容器的底面直径为，高度为，现以每秒的速度向容器内注入某种溶液，求容器内的溶液高度与注入时间的函数关系式及其定义域。

　 分析：圆柱体的容积即是圆柱体的体积=底面积高，可变形成另一种形式为高=。

　 解析：依题意，容器内溶液每秒升高，得函数关系为，

　 注满容器所需时间为，函数的定义域为。

　 评注：正比例函数模型是函数应用问题中常用的数学模型，应熟练掌握。

4．一次函数模型

　 例4　 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？

　 分析：每月赚得的钱=卖报收入的总价-付给报社的总价。而收入的总数分为三部分，一是在可卖出400份的20天里，收入为0.5；二是在可卖出250份的10天里，在份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5；三是没有卖掉的(-250)份报纸可退回报社，报社付出-2500.08的钱。

　 解析：设每天应从报社买份，易知，

　 设每月赚元，则=0.5+0.5+-2500.08-0.35

　 0.3，。

　 因为0.3是定义域上的增函数，

所以当时，(元)。

　 故每天应从报社买进400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元。

　 评注：函数式的定义域不能漏掉。

3．二次函数模型

　 例4　 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

　 ，其中是仪器的月产量。

　 (1)将利润表示为月产量的函数；

　 (2)当月产量为何值时，公司所或利润最大？最大利润为多少元？

　 (总收益=总成本+利润)

　 分析：由已知总收益=总成本+利润，知道利润=总收益-总成本，由于是分段函数，所以也要分段求出。分别求出在各段中的最大值，通过比较，就能确定的最大值。

　 解析：(1)设月产量为台，则总成本为20000+100，从而

　 。

　 (2)当时，，

　 ∴当时，有最大值25000；

　 当时，是减函数，。

　 故当时，的最大值为25000元。

　 评注：该例中的“利润=总收益-总成本”是解题的关键所在。

2．对数模型

　 例2　 我们都处于有声世界之中，不同的场合人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝()，对于一个强度为的声波，分贝的定义是：

　 ，这里是人耳能听到的声音的最低声波强度，，当时，，即=0。

　 (1)如果，求相应的分贝值；

　 (2)70时的声音强度是60时声音强度的多少倍？

　 分析：已知的等量关系是解决函数应用问题的依据。

　 解析：(1)将代入得()；

　 (2)当时，解得，当时，解得，

　 ∴1.2，

　 故70时的声音强度是60时声音强度的1.2倍。

　 评注：在平时的学习过程中，熟练掌握一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力。　

1．指数模型

例1　 某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利润10，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是按年利率9，按每一年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？

　 分析：本例可先按单利和复利分别计算5年后的本息和，再通过比较即可。

　 解析：依题意，本金100万元，年利率10，按单利计算，5年后的本息和是(万元)；

　 本金100万元，年利率9，按每年复利一次计算，5年后的本息和是(万元)；

　 由此可见，按年利率9每年复利一次计算要比年利率10的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元。

　 评注：单利是正比例函数，而复利是指数函数模型，可见复利计算得到的利息要多。

15．设O为直径等于a的圆上一点，过 O点任意作直线交圆于P点，在射线OP上取一点M，使 ＝a，当 P点在圆上移动一周时，求相应的点M的轨迹方程．