2．函数的定义域是(　　　　 )　　

　　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C． 　　　　 D．

1．集合的含有元素1的真子集共有(　　　　　 )个

　　　　 A．4　　　　　　　　　　　　　　 B．6　　　　　　　　　　　　　　 C．7　　　　 　　　　　　　　　 D．8

20．解：(1)规定 f(0)= 1．

表示没有用水清洗时，手上的残留污物没有发生变化．　　　　　　　　　　　　 ……………… 1分

(2)f(x)应该有f(0)= 1，f(1)=，

且在[0，+∞上，f(x)是单调递减的，

∴ f(x)的定义域是[0，+∞，值域为(0，1．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 3分

(3)设清洗前污物的残留量为1，

那么用a单位量的清水清洗一次后，残留的污物量为：

W₁ = 1×f(a)= ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 4分

如果采用后一方案：每次用的清水清洗：高☆考♂资♀源?网　　 ☆

清洗第一次后：残留的污物量为：1×f()==；

清洗第二次后：残留的污物量为：W₂=×f()=．　　 ……………… 6分

∵ W₁－W₂ = －=＞0， 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ……………… 9分

∴ W₁＞W₂，

即采用将水平均分成两份后清洗两次，残留的污物量比较少．　 ……………… 10分

w.w.^w.k.s.5*

19．解：(1)由题意，函数f(x)是g(x)的反函数．高☆考♂资♀源?网　　 ☆

设y =+1，则y－1=，∴ x =(y－1)²－2，　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 2分

∵ x≥－2，∴ y≥1，

∴ f(x)=(x－1)²－2 = x²－2x－1，x∈[1，+∞．　　　　 　 ……………… 4分

(2)函数f(x)在其定义域x∈[1，+∞内是增函数．　 　　　　　 ……………… 6分

设1≤x₁＜x₂，

则 f(x₁)－f(x₂)=(x₁－1)²－2－(x₂－1)² + 2

　 =(x₁－x₂)(x₁ + x₂－2)．　　　　　　　　　　　　　　 　 ……………… 8分

∵ 1≤x₁＜x₂，则 x₁－x₂＜0，而x₁ + x₂＞2，∴ x₁ + x₂－2＞0，

∴ f(x₁)－f(x₂)=(x₁－x₂)(x₁ + x₂－2)＜0，

即 f(x₁)＜f(x₂)．

∴ f(x)在[1，+∞上是单调增函数．　　　　　　　　　 　　　　 　……………… 10分

18．解：(1)∵ {a_n}是等差数列，∴ a_n = an + b(或者用a_n = a₁ +(n－1)d)．高☆考♂资♀源?网　　 ☆

∴ a₄ = 4a + b = 7，a₁₀ = 10a + b = 19．

∴ a = 2，b =－1，即a_n = 2n－1．　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 3分

(2)∵ b_n= 2ⁿ，∴ ==2(n≥2)，

且 b₁ = 2¹ = 2，

∴ {b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ……………… 6分

(3)∵ c_n = a_n + 2b_n = 2n－1 + 2ⁿ⁺¹，

∴ S_n = 2×1－1 + 2² + 2×2－1 + 2³ + … + 2n－1 + 2ⁿ⁺¹高☆考♂资♀源?网　　 ☆

= 2(1 + 2 + … + n)－n + 2²(1 + 2 + 2² + … + 2^n－1)　　　　　　　 　　 　　 ……………… 8分

= n² + 2²(2ⁿ－1)

= 2ⁿ⁺²－4 + n²．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 ……………… 10分

17．解：∵ A ={ x︱(x + 1)(x－3)≥0 } =(－∞，－1∪[ 3，+∞ ………… 2分

∴ _RA =(－1，3)．　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 4分

B ={ x︱1－＞0，a＞0} = { x︱＞0，a＞0}

= { x︱x＜－a或x＞a，a＞0}．　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 6分

∴(_RA)∩ B = Æ Û 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 8分

Û Û a≥3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………… 10分

13．{x︱－3＜x＜3}　　 14．(0，　 　15．15 lg 2　　　 16．②④

1－5　 ADBBD　　　 6－10　 AABCD　　　 11－12　 BC

20．在日常生活中，我们经常需要用清水来洗手，特别是在目前甲流期间，我们更要注意个人清洁卫生．现在我们对用一定量的清水洗一次手的效果作如下假定：用1个单位量的清水可以清洗掉手上污物量的50%，用水越多，洗掉的污物量也越多，但总还是有污物残留在手上．设用x单位量的清水洗一次后，手上残留的污物量与本次清洗前残留的污物量之比为函数f(x)．

(1)试规定f(0)的值；高☆考♂资♀源?网　　 ☆

(2)试根据假定写出f(x)的定义域和值域(可以不说明理由)；

(3)设，现只有a(a＞0)单位量的清水，可以清洗一次，也可以将水平均分成两份后清洗两次．试问选用哪种方式清洗后手上残留的污物量比较少？请说明理由．

高中2012级第一学期末教学质量测试

数学参考答案及评分意见

19．已知函数f(x)的图象与函数(x≥－2)的图象关于直线y = x对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)试判断f(x)在其定义域上的单调性，并用定义证明．