3．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

那么方程2^x＝x²的一个根所在区间为(　)

A．(0.6,1.0)　 B．(1.4,1.8)

C．(1.8,2.2)　 D．(2.6,3.0)

[解析]　设f(x)＝2^x－x²，由表格观察出在x＝1.8时，2^x>x²，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2^x<x²，即f(2.2)<0.所以f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2^x＝x²的一个根位于区间(1.8,2.2)内．故选C.

[答案]　C

2．方程2^x－1+x＝5的解所在的区间是(　)

A．(0,1)　 B．(1,2)

C．(2,3)　 D．(3,4)

[解析]　令f(x)＝2^x－1+x－5，则f(2)＝2+2－5＝－1<0，f(3)＝2²+3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.

[答案]　C

1．方程^x＝ln x的根的个数是(　)

A．0　 B．1

C．2　 D．3

[解析]　方法一：令f(x)＝ln x－^x，

则f(1)＝－<0，f(e)＝1－>0，

∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，

∴f(x)在定义域内仅有1个零点．

方法二：作出y＝^x与y＝ln x的图象观察可知只有一个交点．故选B.

[答案]　B

22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在，使得所给等式成立．

令代入等式得解得

以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．

(1)当时，由以上可知等式成立；

(2)假设当时，等式成立，即，

则当时，

．

由(1)(2)知，等式结一切正整数 都成立．

21．由下列不等式，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

解：根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式，即一般不等式为：

　．

用数学归纳法证明如下：

(1)当时，，猜想成立；

(2)假设当时，猜想成立，即，

则当时，

，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．

20．用三段论方法证明：．

证明：因为，所以(此处省略了大前提)，

所以(两次省略了大前提，小前提)，

同理，，，

三式相加得．

(省略了大前提，小前提)

19．已知，且，求证：．

证明：因为，且，

所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，

即证，从而只需证明，

即，

因为，，

所以成立，故原不等式成立．

18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．

证明如下：

设等差数列的公差为，则，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．

证明：(反证法)假设不是偶数，即是奇数．

设，则．

是偶数，

是奇数，这与已知是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，一定是偶数．

16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　．

答案：