21. (本小题满分16分)

已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)，两个焦点分别为F₁和F₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A．B两点，设l与y轴交点为P，线段PF₂的中点恰为B。

(1)若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围；

(2)若k=，A．B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程。

解：(1)设右焦点F₂(c，0)，则l：y=k(x－c).令x=0，则y=－ck，∴P(0，－ck)。

∵B为F₂P的中点，∴B(，－)。

∵B在椭圆上，∴+＝1。

∴k²＝·＝(－1)(4－e²)＝+e²－5。

∵｜k｜≤，∴+e²－5≤.∴(5e²－4)(e²－5)≤0。∴≤e²＜1.∴≤e＜1．

(2)k＝，∴e＝.∴＝.

∴a²＝c²，b²＝c².椭圆方程为+＝1，即x²+5y²＝c²．

直线l方程为y=(x－c)，

B(，－c)，右准线为x=c.

设A(x₀，y₀)，则(c－x₀)+(c－)＝，∴x₀＝2c－，y₀＝(c－).

∵A在椭圆上，∴(2c－)²+5［(c－)］²＝c².

解之得c=2或c＝(不合题意，舍去).

∴椭圆方程为x²+5y²＝5，即+y²＝1．

第III卷(理科附加题)

(第1、2、3、4题每题6分，第5题16分　 共40分)

20. (本小题满分16分)

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，BC＝2AC．

(I)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(II)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

解：(I)以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为

　　　　　 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

　　　　　 又∵|BC|＝2|AC|　　　 ∴|OC|＝|AC|

　　　　　 ∴△AOC为等腰直角三角形　

　　　　　 ∴点C的坐标为(1，1)　 ∴点B的坐标为(－1，－1)

　　　　　 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，

　　　　　 则求得椭圆方程为　　　　　

　　　　　 (II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　　　 ∵点C(1，1)在椭圆上，

　　　　　 ∴x＝1是方程(*)的一个根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　　　 同理x_Q＝　

　　　　　 ∴直线PQ的斜率为(定值)

又∠ACB的平分线也垂直于OA

　　　　　 ∴直线PQ与AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　　　 ∴向量，即总存在实数，使成立．

19．解：⑴以C为原点，轴建立空间直角坐标系.

设AC=2，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，C₁(0，0，2)E(1，1，0)　

设　

由即点为的中点。

⑵.　 　　

19．(本小题满分14分)用向量法求解下列问题

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，E、F分别是AB、BC的中点，G是AA₁上的点.

⑴如果，试确定点G的位置；

⑵在满足条件(Ⅰ)的情况下，试求的值。

19．(本小题满分14分)

求下列函数的导数：

(1)y=x²sinx；　　　 (2) y=；

解:(1)y′=(x²)′sinx+x²(sinx)′=2xsinx+x²cosx.

(2)y′==.

18．(本小题满分14分)

已知抛物线C：y²=4x动直线L：y=k(x+1)与抛物线C交于A、B两点，O为原点

①求证：定值；

②求满足的点M的轨迹方程。

17．(本小题满分14分)

已知，，，根据下列条件求为钝角三角形的概率：

⑴在线段OB上任取一点C；

⑵过点A任作一直线与直线OB交于点C。

解:(1);　　　　　　 (2).

16. 为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分，转化关系式为(其中是某位学生的考试分数， 是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分)，转化成标准分后可能出现小数或负数，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数。例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：，已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为_______84_____.

15．若双曲线的右支上一点P(a,b)直线y=x的距离为，则a+b 的值是　 　

14．已知实数满足，则　 4　　 。