5.(2004年春季上海，8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.

解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n(n－1)+1.

答案：n²－n+1

●典例剖析

[例1] 比较2ⁿ与n²的大小(n∈N *).

剖析：比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解：当n=1时，2¹＞1²，

当n=2时，2²=2²，当n=3时，2³＜3²，

当n=4时，2⁴=4²，当n=5时，2⁵＞5²，

猜想：当n≥5时，2ⁿ＞n².

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=5时，2⁵＞5²成立.

(2)假设n=k(k∈N *，k≥5)时2^k＞k²，

那么2^k+1=2·2^k=2^k+2^k＞k²+(1+1)^k＞k²+C+C+C=k²+2k+1=(k+1) ².

∴当n=k+1时，2ⁿ＞n².

由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2ⁿ＞n²都成立.

综上，得当n=1或n≥5时，2ⁿ＞n²；当n=2，4时，2ⁿ=n²；当n=3时，2ⁿ＜n².

评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.

深化拓展

当n≥5时，要证2ⁿ＞n²，也可直接用二项式定理证：2ⁿ=(1+1)ⁿ=C+C+C+…+C+C+C＞1+n++=1+n+n²－n＞n².

[例2] 是否存在常数a、b、c使等式1·(n²－1²)+2(n²－2²)+…+n(n²－n²)=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.

解：分别用n=1，2，3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时，由上可知等式成立;

(2)假设当n=k+1时，等式成立，

则当n=k+1时，左边=1·［(k+1)²－1²］+2［(k+1)²－2²］+…+k［(k+1)²－k²］+(k+1)［(k+1)²－(k+1)²］=1·(k²－1²)+2(k²－2²)+…+k(k²－k²)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k⁴+(－)k²+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=(k+1)⁴－(k+1)².

∴当n=k+1时，等式成立.

由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.

评述：本题是探索性命题，它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.

[例3](2003年全国)设a₀为常数，且a_n=3^n－1－2a_n－1(n∈N*).证明：n≥1时，a_n=[3ⁿ+(－1)^n－1·2ⁿ］+(－1)ⁿ·2ⁿ·a₀.

剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.

证明：(1)当n=1时，［3+2］－2a₀=1－2a₀，而a₁=3⁰－2a₀=1－2a₀.

∴当n=1时，通项公式正确.

(2)假设n=k(k∈N*)时正确，即a_k=［3^k+(－1)^k－1·2^k］+(－1)^k·2^k·a₀，

那么a_k+1=3^k－2a_k=3^k－×3^k+(－1)^k·2^k+(－1)^k+1·2^k+1a₀

=·3^k+(－1)^k·2^k+1+(－1)^k+1·2^k+1·a₀

=［3^k+1+(－1)^k·2^k+1］+(－1)^k+1·2^k+1·a₀.∴当n=k+1时，通项公式正确.

由(1)(2)可知，对n∈N*，a_n=［3ⁿ+(－1)^n－1·2ⁿ］+(－1)ⁿ·2ⁿ·a₀.

评述：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.

深化拓展

本题也可用构造数列的方法求a_n.

解：∵a₀为常数，∴a₁=3－2a₀.

由a_n=3^n－1－2a_n－1，

得=－+1，

即=－·+.

∴－=－(－).

∴{－}是公比为－，首项为的等比数列.

∴－=(－a₀)·(－)^n－1.

∴a_n=(－a₀)·(－2)^n－1×3+×3ⁿ

=［3ⁿ+(－1)^n－1·2ⁿ］+(－1)ⁿ·2ⁿ·a₀.

注：本题关键是转化成a_n+1=ca_n+d型.

●闯关训练

夯实基础

4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2ⁿ·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为

A.2k+1　　　 　　　　B.2(2k+1)　　　　 C.　　 　　　　　D.

解析：当n=1时，显然成立.

当n=k时，左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k)，

当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)

=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=(k+1)(k+2)·…·(k+k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1).

答案：B

3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为

A.f(n)+n+1　　　　　 B.f(n)+n　　　　　 C.f(n)+n－1　　　　　 D.f(n)+n－2

解析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n－2个顶点连成的　　 n－2条对角线，及原先的一条边成了对角线.

答案：C

2.(2004年太原模拟题)若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为

解析：2002=4×500+2，而a_n=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.

答案：D

1.设f(n)=+++…+(n∈N *)，那么f(n+1)－f(n)等于

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.+　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－

解析：f(n+1)－f(n)= + +…+ + +－(++…+)=+－=－.

答案：D

2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.

特别提示

(1)用数学归纳法证题时，两步缺一不可;

(2)证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标.

●点击双基

1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：(1)先证明当n=n₀(n₀是使命题成立的最小自然数)时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*， k≥n₀)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.

13.1　 数学归纳法

●知识梳理

1.数学归纳法、极限

要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

(2)了解数列极限和函数极限的概念.

(3)掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.

(4)了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

●复习方略指南

极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.