2.指数函数

(1)指数函数的定义

一般地，函数y=a^x(a＞0且a≠1)叫做指数函数.

(2)指数函数的图象

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

(3)指数函数的性质

①定义域：R.

②值域：(0，+∞).

③过点(0，1)，即x=0时，y=1.

④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.

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1.指数

(1)n次方根的定义

若xⁿ=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.

(2)方根的性质

①当n为奇数时，=a.

②当n为偶数时，=|a|=

(3)分数指数幂的意义

①a=(a＞0，m、n都是正整数，n＞1).

②a==(a＞0，m、n都是正整数，n＞1).

2.7　 指数与指数函数

●知识梳理

4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：

(1)二次不等式f(x)=ax²+bx+c≤0的解集是(－∞，α］∪［β，+∞)a＜0且f(α)=f(β)=0.

(2)当a＞0时，f(α)＜f(β)|α+|＜|β+|；

当a＜0时，f(α)＜f(β)|α+|＞|β+|.

(3)当a＞0时，二次不等式f(x)＞0在［p，q］上恒成立或或

(4)f(x)＞0恒成立或

f(x)＜0恒成立或

拓展题例

[例1] 已知当m∈R时，函数f(x)＝m(x²－1)+x－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.

解：(1)m=0时，f(x)=x－a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R.

(2)m≠0时，由题意知，方程mx²+x－(m+a)＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1+4m(m+a)＝4m²+4am+1≥0.又只需Δ′＝(4a)²－16≤0，解得－1≤a≤1，即a∈［－1，1］.

∴m＝0时，a∈R；

m≠0时，a∈［－1，1］.

评述：g(a)是a的函数，可作出g(a)的草图来求最大值.

[例2] 已知f(x)＝ax²+bx+c的图象过点(－1，0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立？

解：∵f(x)的图象过点(－1，0)，　 ∴a－b+c=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，

∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1.

故有a+b+c＝1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②得b=，c=－a.　　 ∴f(x)＝ax²+x+－a.

故x≤ax²+x+－a≤对一切x∈R成立，　　

也即恒成立

解得a=.∴c=－a=.

∴存在一组常数a=，b=，c=，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.

评述：赋值法(特殊值法)可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法.　

3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：

(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)＜0.

(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r

(3)二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根

(4)二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)＜0，或f(p)=0，另一根在(p，q)内或f(q)=0，另一根在(p，q)内.

(5)方程f(x)=0的两根中一根大于p，另一根小于q(p＜q)

2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)=ax²+bx+c(a≠0)中a、b、c的值.二次函数也可以表示为y=a(x－x₀)²+h或y=a(x－x₁)(x－x₂)(b²－4ac≥0)等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.

1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.

2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.

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教学点睛

1.二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.

9.二次函数f(x)=px²+qx+r中实数p、q、r满足++=0，其中m＞0，

求证：(1)pf()＜0；

(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

证明：(1)pf()=p［p()²+q()+r］

=pm［++］

=pm［－］

=p²m［］

=p²m［－］.

由于f(x)是二次函数，故p≠0.

又m＞0，所以pf()＜0.

(2)由题意，得f(0)=r，f(1)=p+q+r.

①当p＞0时，由(1)知f()＜0.

若r＞0，则f(0)＞0，又f()＜0，

∴f(x)=0在(0，)内有解；

若r≤0，则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(－－)+r=－＞0，

又f()＜0，

所以f(x)=0在(，1)内有解.

因此方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

②当p＜0时，同样可以证得结论.

评述：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.

(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的.

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