8.(理)(2003年重庆市高三毕业班诊断性考试)某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算(以下同).全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？(注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min)

解：设小灵通每月的费用为y₁元，全球通的费用为y₂元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则

y₁=25+(4x+3x+x+x)×0.2+0.1x=25+1.9x，

y₂=10+2(0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x)=10+6.8x.

令y₁≥y₂，即25+1.9x≥10+6.8x，

解得x≤≈3.06.

∴总次数为(4+3+1+1)×2×3.06=55.1.

故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.

(文)(2005年北京东城区模拟题)定义“符号函数”f(x)=sgnx=则不等式x+2＞(x－2)^sgnx的解集是______________.

解析：分类讨论.

答案：(－，+∞)

探究创新

7.设f(x)=－2x+1，已知f(m)=，求f(－m).

解：∵f(m)=，∴－2m+1=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∴－2m=－1.

而f(－m)=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=－+ 2m+1=－(－2m)+1=－(－1)+1=2－.

6.设定义在N上的函数f(x)满足f(n)=　　 试求f(2002)的值.

解：∵2002＞2000，

∴f(2002)=f［f(2002－18)］=f［f(1984)］=f［1984+13］=f(1997)=1997+13=2010.

5.(2005年北京市西城区模拟题)已知函数f(x)=则f(lg30－lg3)=___________________；不等式xf(x－1)＜10的解集是___________________.

解析：f(lg30－lg3)=f(lg10)=f(1)=－2，

f(x－1)=

当x≥3时，x(x－3)＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.

当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.

总之x∈(－5，5).

答案：－2　 {x|－5＜x＜5}

培养能力

4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如下图)，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.

解：∵AB=2x，则=πx，AD=.

∴y=2x·+=－(+2)x²+lx.

由＞0，解得0＜x＜.

3.已知f(x²－4)=lg，则f(x)的定义域为__________.

解析：设x²－4=t，则t≥－4，x²=4+t.

∴f(t)=lg.∴f(x)=lg(x≥－4).

由得x＞4.

答案：(4，+∞)

2.如果f［f(x)］=2x－1，则一次函数f(x)=___________________.

解析：设f(x)=kx+b，则f［f(x)］=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k²x+kb+b.

由于该函数与y=2x－1是同一个函数，

∴k²=2且kb+b=－1.∴k=±.

当k=时，b=1－；

当k=－时，b=1+.

答案：f(x)=x+1－或f(x)=－x+1+

1.函数y=的值域是

A.［－1，1］　　 　　　　　　　 B.(－1，1］　　 　　　　　　　 C.［－1，1)　　 　　　　　　　 D.(－1，1)

解法一：y==－1.∵1+x²≥1，

∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.

解法二：由y=，得x²=.

∵x²≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.

解法三：令x=tanθ(－＜θ＜)，则y==cos2θ.∵－π＜2θ＜π，

∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.

答案：B

4.函数y=的定义域为______________，值域为___________________.

答案：［－1，2］　 ［0，］

●典例剖析

[例1] 已知函数f(x)=的定义域是R，则实数a的取值范围是

A.a＞　　　　　　　　　　　 B.－12＜a≤0　　　　　　　　　　 C.－12＜a＜0　　　　　　　　　　 D.a≤

剖析：由a=0或可得－12＜a≤0.

答案：B

[例2] 在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.

解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.

根据余弦定理得

1²+y²－2ycosθ＝(3－x)²，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

1²+y²－2ycos(π－θ)＝x².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①+②整理得y＝.

其中　 解得＜x＜.

∴函数的定义域为(，).

评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.

[例3] 若函数f(x)=的值域为［－1，5］，求实数a、c.

解：由y=f(x)=，得x²y－ax+cy－1=0.

当y=0时，ax=－1，∴a≠0.

当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a²－4y(cy－1)≥0.

∴4cy²－4y－a²≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy²－4y－a²=0的两根.

∴∴

评述：求f(x)=(a₁²+a₂²≠0)的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.

●闯关训练

夯实基础

3.(2005年春季北京，文2)函数f(x)=|x－1|的图象是

解析：转化为分段函数y=

答案：B