5.(2004年上海，19)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg［(x－a－1)(2a－x)］(a＜1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)若BA，求实数a的取值范围.

解：(1)由2－≥0，得≥0，

∴x＜－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪［1，+∞).

(2)由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0.

∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=(2a，a+1).

∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2.

而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.

故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2］∪［，1).

培养能力

4.已知关于x的方程sin²x－2sinx－a=0有实数解，求a的取值范围.

解：a=sin²x－2sinx=(sinx－1)²－1.

∵－1≤sinx≤1，∴0≤(sinx－1)²≤4.

∴a的范围是［－1，3］.

3.(2003年春季北京)若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为__________.

解析：由f(px)=f(px－)，

令px=u，f(u)=f(u－)=f［(u+)－］，∴T=或的整数倍.

答案：(或的整数倍)

2.(2003年郑州市质检题)关于x的方程|x²－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.

解析：作函数y=|x²－4x+3|的图象，如下图.

由图象知直线y=1与y=|x²－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x²－4x+3|=1也就是方程|x²－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.

答案：1

1.已知y=f(x)在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上

A.单调递减且最大值为7　　　　　　　　　　　　　　　　 B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3　　　　　　　　　　　　　　　　 D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f^－1(x)的值域是［1，3］.

答案：C

2.(2003年郑州市质检题)若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0，3)和B(3，－1)，则不等式|f(x+1)－1|＜2的解集是___________________.

解析：由|f(x+1)－1|＜2得－2＜f(x+1)－1＜2，即－1＜f(x+1)＜3.

又f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象过点A(0，3)，B(3，－1)，

∴f(3)＜f(x+1)＜f(0).

∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2.

答案：(－1，2)

●典例剖析

[例1] 取第一象限内的点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，使1，x₁，x₂，2依次成等差数列，1，y₁，y₂，2依次成等比数列，则点P₁、P₂与射线l:y=x(x＞0)的关系为

A.点P₁、P₂都在l的上方　　　　　　　　　　　　　　　 B.点P₁、P₂都在l上

C.点P₁在l的下方，P₂在l的上方　　　　　　　　　 D.点P₁、P₂都在l的下方

剖析：x₁=+1=，x₂=1+=，y₁=1×=，y₂=，∵y₁＜x₁，y₂＜x₂，

∴P₁、P₂都在l的下方.

答案：D

[例2] 已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0，g(x)是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g(x)=f(x－1)，求f(2002)的值.

解：由g(x)=f(x－1)，x∈R，得f(x)=g(x+1).又f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)，

故有f(x)=f(－x)=g(－x+1)=－g(x－1)=－f(x－2)=－f(2－x)=－g(3－x)=

g(x－3)=f(x－4)，也即f(x+4)=f(x)，x∈R.

∴f(x)为周期函数，其周期T=4.

∴f(2002)=f(4×500+2)＝f(2)=0.

评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

[例3] 函数f(x)=(m＞0)，x₁、x₂∈R，当x₁+x₂=1时，f(x₁)+f(x₂)=.

(1)求m的值；

(2)数列{a_n}，已知a_n=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)，求a_n.

解：(1)由f(x₁)+f(x₂)=，得+=，

∴4+4+2m=［4+m(4+4)+m²］.

∵x₁+x₂=1，∴(2－m)(4+4)=(m－2)².

∴4+4=2－m或2－m=0.

∵4+4≥2=2=4，

而m＞0时2－m＜2，∴4+4≠2－m.

∴m=2.

(2)∵a_n=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)，∴a_n=f(1)+f()+ f()+…+f()+f(0).

∴2a_n=［f(0)+f(1)］+［f()+f()］+…+［f(1)+f(0)］=++…+=.

∴a_n=.

深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.

[例4] 函数f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=－2.

(1)证明f(x)是奇函数；

(2)证明f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间［－3，3］上的最大值和最小值.

(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f［x+(－x)］=f(x)+f(－x)，∴f(x)+ f(－x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.从而有f(x)+f(－x)=0.

∴f(－x)=－f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)证明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)－f［x₁+(x₂－x₁)］=f(x₁)－［f(x₁)+f(x₂－x₁)］=－f(x₂－x₁).由x₁＜x₂，∴x₂－x₁＞0.∴f(x₂－x₁)＜0.

∴－f(x₂－x₁)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，从而f(x)在R上是减函数.

(3)解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在［－3，3］上的最大值是f(－3)，最小值是f(3).由f(1)=－2，得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(－2)=－6，f(－3)=－f(3)=6.从而最大值是6，最小值是－6.

深化拓展

对于任意实数x、y，定义运算x_*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1_*2=3，2_*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x_*m=x，试求m的值.

提示：由1_*2=3，2_*3=4，得

∴b=2+2c，a=－1－6c.

又由x_*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，

∴∴b=0=2+2c.

∴c=－1.∴(－1－6c)+cm=1.

∴－1+6－m=1.∴m=4.

答案：4.

●闯关训练

夯实基础

1.已知函数f(x)=lg(2^x－b)(b为常数)，若x∈［1，+∞)时，f(x)≥0恒成立，则

A.b≤1　 　　　　　　　　　　　　　　 B.b＜1 　　　　　　　　　　　　　　 C.b≥1　 　　　　　　　　　　　　　　 D.b=1

解析：当x∈［1，+∞)时，f(x)≥0，从而2^x－b≥1，即b≤2^x－1.而x∈［1，+∞)时，2^x－1单调增加，

∴b≤2－1=1.

答案：A

3.函数与实际应用问题的综合.

●点击双基

2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.

1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.