4.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是

A.208　　　　　　　　　　　　　 B.204　　　　　　　　　　　　　 C.200　　　　　　　　　　　　　 D.196

解析：在12个点中任取3个点的组合数为C，在同一直线上的3点的组数为20，则可构成三角形的组数为C－20=200.

答案：C

3.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种.

解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5=25种.

答案：25

2.(2004年黄冈检测题)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为

A.504　　　　　　　　　　　　　 B.210　　　　　　　　　　　　　 C.336　　　　　　　　　　　　　 D.120

解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法.

∴插法种数为7×8×9=504或A÷A=504.

答案：A

1.(2004年全国，文5)从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于

A.0　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：n=C=4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m=1.∴= .

答案：B

5.(2005年春季北京，13)从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax²+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.(用数字作答)

解析：一个二次函数对应着a、b、c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.

若二次函数为偶函数，则b=0.

同上共有3×2=6个.

答案：18　 6

●典例剖析

[例1] 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

解：分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.

评述：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.

思考讨论

本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.

[例2] 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，

所以子集的个数为2×2×2×2×2=2⁵=32.

评述：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.

深化拓展

上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?

答案：C·2⁴=80个.

[例3] (2003年新课程卷)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如下图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.(以数字作答)

解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.

(1)②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N₁=4×3×2×2×1=48种；

(2)③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N₂=4×3×2×2×1=48种；

(3)②与④且③与⑥同色，则共有N₃=4×3×2×1=24种.

所以，共有N=N₁+N₂+N₃=48+48+24=120种.

解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.

根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A×5=120.

答案：120

评述：解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.

●闯关训练

夯实基础

4.72的正约数(包括1和72)共有__________个.

解析：72=2³×3².

∴2^m·3ⁿ(0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N)都是72的正约数.

m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.

答案：12

3.某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是

A.9×8×7×6×5×4×3　　　　　　　　　　　　　　　　 B.8×9⁶

C.9×10⁶ D.81×10⁵

解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×10⁵部，同理升为七位时为9×10⁶.∴可增加的电话部数是9×10⁶－9×10⁵=81×10⁵.

答案：D

2.(2002年全国)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种　　　　　　　　　　　　　 B.12种　　　　　　　　　　　　 C.16种　　　　　　　　　　　　 D.20种

解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C·C=12种.

答案：B

1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线.

A.24　　 　　　　　　　　　　　　　　 B.16 　　　　　　　　　　　　　　　 C.12　　 　　　　　　　　　　　　　　 D.10

解析：起点为C种可能性，终点为C种可能性，因此，行车路线共有C×C=12种.

答案：C

10.1　 分类计数原理、分步计数原理

●知识梳理

分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点.

特别提示

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成.

●点击双基