1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效(如关于求焦半径的问题).

9.已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且==，P为GE与OF的交点(如下图).问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

分析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P到两定点距离的和为定值.

解：按题意，有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a).

设===k(0≤k≤1)，

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak).

直线OF的方程为2ax+(2k－1)y=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

直线GE的方程为－a(2k－1)x+y－2a=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②　　　 由①②消去参数k，

得点P(x，y)满足方程2a²x²+y²－2ay=0.

整理得+=1.

当a²=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当a²≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

当a²＜时，点P到椭圆两个焦点(－，a)，(，a)的距离之和为定值.

当a²＞时，点P到椭圆两个焦点(0，a－)，(0，a+)的距离之和为定值2a.

评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.

●思悟小结

8.(2003年南京市模拟题)设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8.

(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程.

(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.

(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8，

∴点M(x，y)到两个定点F₁(0，－2)，F₂(0，2)的距离之和为8.

∴轨迹C为以F₁、F₂为焦点的椭圆，方程为+=1.

解法二：由题知，+=8，

移项，得=8－，

两边平方，得

x²+(y+2)²=x²+(y－2)²－16+64，

整理，得2=8－y，

两边平方，得4［x²+(y－2)²］=(8－y)²，

展开，整理得+=1.

(2)∵l过y轴上的点(0，3)，

若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.

∵=+=0，

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.

∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

+=1，

(－21)＞0恒成立，且x₁+x₂=－，x₁x₂=－.

∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即·=0.

∵=(x₁，y₁)，=(x₂，y₂)，

∴·=x₁x₂+y₁y₂=0，

即(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0，

即(1+k²)·(－)+3k·(－)+9=0，即k²=，得k=±.

∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.

探究创新

7.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.

解：设椭圆方程为mx²+ny²=1(m>0，n>0)，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，解方程组

y=x+1，

mx²+ny²=1.

消去y，整理得(m+n)x²+2nx+n－1=0.

Δ=4n²－4(m+n)(n－1)>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx₁x₂+y₁y₂=0，

即x₁x₂+(x₁+1)(x₂+1)=0，2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0，∴－+1=0.

∴m+n=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由弦长公式得2·=()²，将m+n=2代入，得m·n=.　　　 ②

n=　　　　 n=.　

∴椭圆方程为+y²=1或x²+=1.

6.直线l过点M(1，1)，与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.

解：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

则+=1，　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

+=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

①－②，得

+=0.

∴=－·.

又∵M为AB中点，

∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2.

∴直线l的斜率为－.

∴直线l的方程为y－1=－(x－1)，

即3x+4y－7=0.

培养能力

5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

解：由题设条件可知a=2c，b=c，又a－c=，解得a²=12，b²=9.∴所求椭圆的方程是+=1或+=1.

4.已知P是椭圆+＝1(a＞b＞0)上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.

解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．

答案：+＝1

3.(2005年春季北京，10)椭圆+=1的离心率是____________，准线方程是____________.

解析：由椭圆方程可得a=5，b=3，c=4，e=，准线方程为x=±=±.

答案：　 x=±

2.(2003年昆明市模拟题)设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，以F₂为圆心作圆F₂，已知圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该椭圆的离心率e为

A. －1　　　　 B.2－　　　　　 C.　　　　　　　 D.

解析：易知圆F₂的半径为c，(2a－c)²+c²=4c²，()²+2()－2=0，=－1.

答案：A

1.(2004年全国Ⅰ，7)椭圆+y²=1的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于

A.　　 　　　　　B. 　　　　　　　C.　　 　　　　　　D.4

解法一：(如下图)设椭圆的右焦点为F₁，左焦点为F₂，过F₁垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.

∵+y²=1，∴a=2，b=1，c=.

∴F₁(，0).设P(，y_P)代入+y²=1，得y_P=，

∴P(，)，|PF₁|=.

又∵|PF₂|+|PF₁|=2a=4，

∴|PF₂|=4－|PF₁|=4－=.

解法二：椭圆的左准线方程为x=－=－.

∵=e=，∴|PF₂|=.

解法三：由解法一得P(，)，

又F₂(－，0)，

∴|PF₂|==.

答案：C

评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.