3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量.

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教学点睛

本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点：

2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.

1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数)，再由题设条件确定参数值，应特别注意：

(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

(2)已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b²x²－a²y²=λ(λ≠0)，根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上.

9.(2003年春季上海)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.

设点M的坐标为(m，n)，

则点N的坐标为(－m，－n)，

其中－=1.

又设点P的坐标为(x，y)，

由k_PM=，k_PN=，

得k_PM·k_PN=·=，

将y²=x²－b²，n²=m²－b²，代入得

k_PM·k_PN=.

评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.

●思悟小结

本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：

8.(理)已知l₁、l₂是过点P(－，0)的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线　　　　　 y²－x²＝1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂.

(1)求l₁的斜率k₁的取值范围；

(2)若｜A₁B₁｜＝｜A₂B₂｜，求l₁、l₂的方程.

解：(1)显然l₁、l₂斜率都存在，否则l₁、l₂与曲线不相交.设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y＝k₁(x+).

y²－x²＝1，消去y得

(k₁²－1)x²+2k₁²x+2k₁²－1＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

根据题意得k₁²－1≠0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

Δ₁＞0，即有12k₁²－4＞0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

完全类似地有－1≠0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

Δ₂＞0，即有12·－4＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑤

从而k₁∈(－，－)∪(，)且k₁≠±1.

(2)由弦长公式得

｜A₁B₁｜＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑥

完全类似地有

｜A₂B₂｜＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑦

∵｜A₁B₁｜＝｜A₂B₂｜，

∴k₁＝±，k₂＝.从而

l₁：y＝(x+)，l₂：y＝－(x+)或l₁：y＝－(x+)，l₂：y＝(x+)．

(文)在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M点到两准线的距离．

解：设M(x₁，y₁)，左右两焦点F₁、F₂，由双曲线第二定义得

｜MF₁｜＝ex₁+a，｜MF₂｜＝ex₁－a，

由已知2(ex₁+a)＝3(ex₁－a)，

把e=，a=4代入，得x₁＝16，y₁＝±3.

∴点M的坐标为(16，±3).

双曲线准线方程为x=±=±.

∴M(16，±3)到准线的距离为12或19．

探究创新

7.双曲线kx²－y²＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.

解：由题意k＞0，c=，

渐近线方程l为y=x，

准线方程为x=±，于是A(，)，

直线FA的方程为 y=，

于是B(－，).

由B是AC中点，则x_C=2x_B－x_A＝－，

y_C=2y_B－y_A＝.

将x_C、y_C代入方程kx²－y²＝1，得

k²c⁴－10kc²+25＝0.

解得k(1+)＝5，则k＝4.

所以双曲线方程为4x²－y²＝1．

6.已知双曲线x²－=1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.

(1)解：设过P(1，2)点的直线AB方程为y－2=k(x－1)，

代入双曲线方程得

(2－k²)x²+(2k²－4k)x－(k⁴－4k+6)=0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则有x₁+x₂=－，

由已知=x_p=1，

∴=2.解得k=1.

又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0.

(2)证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在.

培养能力

5.已知双曲线的方程是16x²－9y²=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设F₁和F₂是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小.

解：(1)由16x²－9y²=144得－=1，

∴a=3，b=4，c=5.焦点坐标F₁(－5，0)，F₂(5，0)，离心率e=，渐近线方程为y=±x.

(2)||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

== =0.

∴∠F₁PF₂=90°.

4.过点A(0，2)可以作____________条直线与双曲线x²－＝1有且只有一个公共点.

解析：数形结合，两切线、两交线.

答案：4

3.(2003年上海)给出问题：F₁、F₂是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F₁的距离等于9，求点P到焦点F₂的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.

______________________________________________________.

解析：易知P与F₁在y轴的同侧，|PF₂|－|PF₁|=2a，∴|PF₂|=17.

答案：|PF₂|=17