6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y－1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.

解：设椭圆方程+＝1(a＞b＞0)，

∵e＝，∴a²＝4b²，即a＝2b.

∴椭圆方程为+＝1.

把直线方程代入化简得5x²－8x+4－4b²＝0.

设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，则

x₁+x₂＝，x₁x₂＝(4－4b²).

∴y₁y₂＝(1－x₁)(1－x₂)

＝1－(x₁+x₂)+x₁x₂＝(1－4b²).

由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂＝0.

解得b²＝，a²＝.

∴椭圆方程为x²+y²＝1.

培养能力

5.求过点(0，2)的直线被椭圆x²+2y²＝2所截弦的中点的轨迹方程.

解：设直线方程为y=kx+2，

把它代入x²+2y²＝2，

整理得(2k²+1)x²+8kx+6=0.

要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－或k＞.

设直线与椭圆两个交点为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，中点坐标为C(x，y)，则

x＝＝，

y= +2＝.

(k＜－或k＞)，

y=　

消去k得x²+2(y－1)²＝2，

且｜x｜＜＝，0＜y＜．

4.AB为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为___________；若AB的倾斜角为α，则|AB|=____________.

解析：设过F(，0)的直线为y=k(x－)，k≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.

答案：

3.已知双曲线x²－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为____________.

解析：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，代入双曲线方程3x²－y²=1相减得直线AB的斜率

k_AB==

===6.

答案：6

2.已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是

A.(0，1)　　　　　　　　　　　　　 B.(0，5)

C.［1，5)∪(5，+∞)　　　　　　　 D.［1，5)

解析：直线y－kx－1=0恒过点(0，1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，≤1且m＞0，得m≥1.故本题应选C.

答案：C

1.若双曲线x²－y²＝1的右支上一点P(a，b)到直线y=x的距离为，则a+b的值为

A.－　　　　　　 B.　　　　　　　 C.±　　　　　　　 D.±2

解析：P(a，b)点在双曲线上，则有a²－b²=1，即(a+b)(a－b)=1.

d==，

∴|a－b|=2.

又P点在右支上，则有a>b，

∴a－b=2.

∴|a+b|×2=1，a+b=.

答案：B

5.已知(4，2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是____________.

解析：设直线l与椭圆交于P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，

将P₁、P₂两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==－=　　　　 －

=－=－.

由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0.

答案：x+2y－8=0

●典例剖析

[例1] 已知直线l：y=tanα(x+2)交椭圆x²+9y²=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围.

剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.

解：将l方程与椭圆方程联立，消去y，得(1+9tan²α)x²+36tan²α·x+72tan²α－9=0，

∴|AB|=|x₂－x₁|

=·

=.

由|AB|≥2，得tan²α≤，

∴－≤tanα≤.

∴α的取值范围是［0，)∪［，π).

评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况.

深化拓展　　

本题若把条件|AB|的长不小于短轴的长去掉，改为求|AB|的长的取值范围.读者不妨一试.

提示：|AB|=，

设|AB|=y，即y=，

9ytan²α+y=6tan²α+6，

(9y－6)tan²α+y－6=0.

当y≠时，由Δ≥0得＜y≤6.

当y=时，l与x轴垂直，

故|AB|的范围是［，6］.

[例2] 已知抛物线y²=－x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值.

剖析：证明OA⊥OB可有两种思路(如下图)：

(1)证k_OA·k_OB=－1；

(2)取AB中点M，证|OM|=|AB|.

求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：

(1)利用S_△OAB=|AB|·h(h为O到AB的距离)；

(2)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，直线和x轴交点为N，利用S_△OAB=|AB|·|y₁－y₂|.

请同学们各选一种思路给出解法.

解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x是最简捷的.

(1)证明：如下图，由方程组

y=k(x+1)　

ky²+y－k=0.

设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由韦达定理y₁·y₂=－1.

∵A、B在抛物线y²=－x上，

∴y₁²=－x₁，y₂²=－x₂，y₁²·y₂²=x₁x₂．

∵k_OA·k_OB=·===－1，

∴OA⊥OB.

(2)解：设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0，则x=－1，即N(－1，0).

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN

=|ON||y₁|+|ON||y₂|

=|ON|·|y₁－y₂|，

∴S_△OAB=·1·

=.

∵S_△OAB=，

∴=.解得k=±.

评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.

[例3] 在抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.

剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，

而直线BC与抛物线有两交点，

∴Δ＞0，即可求得k的范围.

解：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=－ky+m，代入y²＝4x，得y²+4ky－4m=0，

设B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)，BC中点M(x₀，y₀)，

则y₀＝＝－2k，x₀＝2k²+m.

∵点M(x₀，y₀)在直线l上，

∴－2k=k(2k²+m)+3.

∴m=－.

又∵BC与抛物线交于不同两点，

∴Δ＝16k²+16m＞0.

把m代入化简得＜0，

即＜0，解得－1＜k＜0.

评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0”.

思考讨论　　

将直线BC设为x=－ky+m.好！若直线BC的方程设为y=－x+m，本题运算量增大，同学们不妨一试.

●闯关训练

夯实基础

4.过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则　　　 △OAB的重心的横坐标为____________.

解析：由题意知抛物线焦点F(1，0).设过焦点F(1，0)的直线为y=k(x－1)(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂).

代入抛物线方程消去y得k²x²－2(k²+2)x+k²=0.

∵k²≠0，∴x₁+x₂=，x₁x₂=1.

∵|AB|=

=

=

=8，

∴k²=1.

∴△OAB的重心的横坐标为x==2.

答案：2

3.双曲线x²－y²＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是

A.(－∞，0)

B.(1，+∞)

C.(－∞，0)∪(1，+∞)

D.(－∞，－1)∪(1，+∞)

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.

答案：C

2.已知双曲线C：x²－=1，过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有

A.1条　　　　　　 B.2条　　　　　　 C.3条　　　　　　　 D.4条

解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.

答案：D