9.已知平面向量a=(，－1)，b=(，)，

(1)证明：a⊥b；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t²－3)b，y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；

(3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间.

(1)证明：a·b=×+(－1)×=0.

(2)解：∵x⊥y，∴x·y=0，且a·b=0，a²=4，b²=1，整理得－4k+t(t²－3)=0，

∴k= t(t²－3).

(3)解：记f(t)=(t³－3t)，∴(t)=t²－.令(t)＞0得t＜－1或t＞1.因此，当t∈(－∞，－1)时，f(t)是增函数；当t∈(1，+∞)时，f(t)也是增函数.再令(t)＜0，得－1＜t＜1，故t∈(－1，1)时，f(t)是减函数.

●思悟小结

8.已知F₁(－1，0)，F₂(1，0)，A(，0)，动点P满足3·+·=0.

(1)求动点P的轨迹方程.

(2)是否存在点P，使PA成为∠F₁PF₂的平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设P(x，y)，则=(－1－x，－y)，=(1－x，－y)， =(－x，－y).

∴·=(－1－x)(－x)+(－y)²=(x+1)(x－)²+y²，

·=(1－x)·(－x)+(－y)²=(x－1)(x－)+y².

∴3［(x+1)(x－)+y²］+(x－1)(x－)+y²=0.

∴x²+y²=即为P点的轨迹方程.

(2)设存在，则cos∠F₁PA=cos∠APF₂.

∴.

将条件3·=－·代入上式不成立.∴不存在.

探究创新

7.(2004年浙江，14)(理)已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于_______.

解析：∵||²+||²=||²，

∴△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.

∴·+·+·=0+||||cos(π－∠C)+||||cos(π－∠A)=－25.

答案：－25

(文)已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·的值等于_________.

解析：∵||²+||²=||²，

∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.

∴·+·+·=||||cos(π－∠B)+0+||||cos(π－∠A)=－4.

答案：－4

6.如下图，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°.

求点B和向量的坐标.

分析：这里关键是求出B点的坐标，设B(x，y)，由⊥和||=||，则可列出x、y的方程组.

解：设B点坐标为(x，y)，

则=(x，y)，=(x－5，y－2).

∵⊥，∴x(x－5)+y(y－2)=0，

即x²+y²－5x－2y=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又||=||，

∴x²+y²=(x－5)²+(y－2)²，

即10x+4y=29.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解①②得

或

∴B点坐标为(，－)或(，).

故=(－，－)或=(－，)

培养能力

5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.

解：a+λb与λa+b的夹角为锐角，

即(a+λb)·(λa+b)＞0，

也就是λa²+(λ²+1)a·b+λb²＞0，

即2λ+(λ²+1)··3·+9λ＞0，

解得λ＜或λ＞.

4.给出下列命题：

①若a²+b²=0，则a=b=0；

②已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，

则|a·c|=|b·c|；

③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；

④a与b是共线向量a·b=|a||b|.

其中真命题的序号是_______.(请把你认为是真命题的序号都填上)

解析：①a²+b²=0，∴|a|=－|b|.

又|a|≥0，|b|≥0，

∴|a|=|b|=0.∴a=b=0.∴①正确.

②a+b=0，∴a=－b，|a·c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b·c|=|b||c||cos〈b，c〉|=|a||c||cos〈－a，c〉|=

|a||c||cos(π－〈a，c〉)|=|a||c||cos〈a，c〉|.∴②正确.

③cosC===.

·=||||cos(π－C)=5×8×(－)=－20.∴③不正确.

④a与b是共线向量a=λb(b≠0)a·b=λb²，而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|².

∴④不正确.

答案：①②

3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则

A.c∥d

B.c⊥d

C.c不平行于d，也不垂直于d

D.以上三种情况均有可能

解析：∵c⊥a，c⊥b，∴c·a=0，c·b=0.

∴c·d=c·(λa+μb)=c·(λa)+c·(μb)=λc·a+μc·b=0.

答案：B

2.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·(b)=－36，则a与b的夹角是

A.60°　　　　　　　　　　　　 B.120°　　　　　　　　　　　 C.135°　　　　　　　　　　　 D.150°

解析：由(3a)·(b)=－36得a·b=－60.

∴cos〈a，b〉==－.

又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.

答案：B

1.若a=(2，3)，b=(－4，7)，则a在b方向上的投影为

A.　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.

解析：a在b方向上的投影为===.

答案：C

4.(2004年上海，6)(理)已知点A(1，－2)，若向量与a=(2，3)同向，||=2，则点B的坐标为____________.

解析：设A点坐标为(x_A，y_A)，B点坐标为(x_B，y_B).

∵与a同向，∴可设=λa=(2λ，3λ)(λ＞0).

∴||==2，∴λ=2.

则=(x_B－x_A，y_B－y_A)=(4，6)，

∴∵∴

∴B点坐标为(5，4).

答案：(5，4)

(文)已知点A(－1，－5)和向量a=(2，3)，若=3a，则点B的坐标为____________.

解析：设B点坐标为(x_B，y_B)，

则=(x_B+1，y_B+5)=3a=(6，9)，

∴∴

∴B(5，4).

答案：(5，4)

●典例剖析

[例1] 判断下列各命题正确与否：

(1)若a≠0，a·b=a·c，则b=c；

(2)若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；

(3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立；

(4)对任一向量a，有a²=|a|².

剖析：(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a²转化成a·a=|a|²可判断.

解：(1)a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹角).∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ.

∵cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴(1)不正确.

(2)若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β为a与b，a与c的夹角).

∴|a|(|b|cosα－|c|cosβ)=0.

∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.

当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等.

∴(2)不正确.

(3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c，

a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角).

(a·b)c是与c共线的向量，

a(b·c)是与a共线的向量.

∴(3)不正确.(4)正确.

评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.

[例2] 平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点X为直线OP上的一个动点.

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.

剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.

解：(1)设=(x，y)，

∵点X在直线OP上，∴向量与共线.

又=(2，1)，∴x－2y=0，即x=2y.

∴=(2y，y).又=－，=(1，7)，

∴=(1－2y，7－y).

同样=－=(5－2y，1－y).

于是·=(1－2y)(5－2y)+(7－y)(1－y)=5y²－20y+12=5(y－2)²－8.

∴当y=2时，·有最小值－8，此时=(4，2).

(2)当=(4，2)，即y=2时，有=(－3，5)，=(1，－1).

∴||=，||=.

∴cos∠AXB==－.

评述：(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而(2)中即为数量积定义的应用.

[例3] 已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1.

求证：△P₁P₂P₃是正三角形.

剖析：由||=||=||=1知O是△P₁P₂P₃的外接圆的圆心，要证△P₁P₂P₃是正三角形，只需证∠P₁OP₂=∠P₂OP₃=∠P₃OP₁即可，即需求与，与，与的夹角.由++=0变形可出现数量积，进而求夹角.

证明：∵++=0，∴+=－.∴|+|=|－|.

∴||²+||²+2·=||².

又∵||=||=||=1，

∴·=－.

∴｜｜||cos∠P₁OP₂=－，

即∠P₁OP₂=120°.

同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°.

∴△P₁P₂P₃为等边三角形.

评述：解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积，进而求夹角.

深化拓展

本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，P₃(x₃，y₃)，

则=(x₁，y₁)，=(x₂，y₂)，=(x₃，y₃).

由++=0，

得∴

由||=||=||=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1.

∴2+2(x₁x₂+y₁y₂)=1.

∴||=

=

==.

同理||=，||=.

∴△P₁P₂P₃为正三角形.

●闯关训练

夯实基础