5.已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.

解：∵x、y为正数，且x+2y=1，

∴+=(x+2y)(+)

=3++≥3+2，

当且仅当=，即当x=－1，y=1－时等号成立.

∴+的最小值为3+2.

4.若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，则a+b的最小值为____________.

解析：1+a+b≤ab≤()²，

∴(a+b)²－4(a+b)－4≥0.

∴a+b≤或a+b≥.

∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2+2.

答案：2+2

3.b g糖水中有a g糖(b＞a＞0)，若再添m g糖(m＞0)，则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.

解析：＜.

答案：＜

2.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x²－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是

A.a≥2　　　　　　　　　　　　 B.a≥1　　　　　　　　　　　　 C.a≥0　　　　　　　　　　　　 D.a≥－2

解析：当x∈［－1，2］时，x²－2x－1=(x－1)²－2∈［－2，2］.

∵a≥x²－2x－1恒成立，∴a≥2.

答案：A

1.已知方程sin²x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是

A.［－3，6］　　　　　　　　　　 B.［－2，6］　　　　　　　　　　 C.［－3，2］　　　　　　　　　　 D.［－2，2］

解析：∵a=(sinx－2)²－3，|sinx|≤1，

∴－2≤a≤6.

答案：B

5.已知不等式组的解集是不等式2x²－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.

解析：由得2＜x＜3.

则a≤9.

答案：(－∞，9］

●典例剖析

[例1] 函数y=的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.

剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.

解：由y=去分母整理得

yx²－2ax+y－b=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

对于①，有实根的条件是Δ≥0，

即(－2a)²－4y(y－b)≥0.

∴y²－by－a²≤0.又－1≤y≤4，

∴y²－by－a²=0的两根为－1和4.

∴解得或

评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.

深化拓展

已知x、y∈R⁺且+=1，求x+y的最小值.本题不难求解(读者不妨求解).

由本题的启发，你能解下列问题吗？

已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R⁺，

且+=1，x+y的最小值为18.

求a、b的值.

略解：x+y=(x+y)()=10++≥10+2=18.

当且仅当时取等号.

由解得

∴当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.

同上题，x+y=(x+y)(+)=a+b+≥a+b+2.

由得或

[例2] 已知a＞0，求函数y=的最小值.

解：y=+，

当0＜a≤1时，y=+≥2，

当且仅当x=±时取等号，y_min=2.

当a＞1时，令t=(t≥).

y=f(t)=t+.

(t)=1－＞0.

∴f(t)在［，+∞)上为增函数.

∴y≥f()=，等号当t=即x=0时成立，y_min=.

综上，0＜a≤1时，y_min=2；

a＞1时，y_min=.

[例3] 已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0且bc≠0).

(1)若| f(0)|=| f(1)|=| f(－1)|=1，试求f(x)的解析式；

(2)令g(x)=2ax+b，若g(1)=0，又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.

解：(1)由已知| f(1)|=| f(－1)|，有|a+b+c|=|a－b+c|，(a+b+c)²=(a－b+c)²，可得4b(a+c)=0.

∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.

又由a＞0有c＜0.

∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.

∴f(x)=x²±x－1.

(2)g(x)=2ax+b，由g(1)=0有2a+b=0，b＜0.

设方程f(x)=0的两根为x₁、x₂.

∴x₁+x₂=－=2，x₁x₂=.

则|x₁－x₂|==.

由已知0＜|x₁－x₂|≤2，∴0≤＜1.

又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.

●闯关训练

夯实基础

4.已知实数x、y满足=x－y，则x的取值范围是_______.

解析：由=x－y，得y²－xy+x=0.

∵y∈R，∴Δ=x²－4x≥0.∴0≤x≤4.

∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.

答案：0＜x≤4

3.(理)如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log_axlog_ay=1，那么xy

A.无最大值也无最小值

B.有最大值无最小值

C.无最大值有最小值

D.有最大值也有最小值

解析：∵log_ax+log_ay≥2=2，

∴log_axy≥2.

∴0＜xy≤a².

答案：B

(文)已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，则

A.P≥Q　　　　　　　　　　　 B.P≤Q　　　　　　　　　　　　 C.P＞Q　　　　　　　　　　　　 D.P＜Q

解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.

P=，Q=1，P＜Q.

答案：D

2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是

A. cm²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.4 cm ²

C.3 cm²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2 cm²

解析：设两段长分别为x cm，(12－x) cm，

则S=()²+()²=(x²－12x+72)=［(x－6)²+36］≥2.

答案：D

1.已知函数f(x)=log(x²－ax+3a)在［2，+∞)上是减函数，则实数a的范围是

A.(－∞，4］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－4，4］

C.(0，12)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(0，4］

解析：∵f(x)=log(x²－ax+3a)在［2，+∞)上是减函数，

∴u=x²－ax+3a在［2，+∞)上为增函数，且在［2，+∞)上恒大于0.

∴

∴－4＜a≤4.

答案：B