6.求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.

解：设t=sinx+cosx，则t∈［－，］.

由(sinx+cosx)²=t²sinxcosx=.

∴y=1+t+=(t+1)².

∴y_max=(+1)²=，y_min=0.

∴值域为［0，］.

培养能力

5.(2004年湖南，13)已知向量a=(cosθ，sinθ)，向量b=(，－1)，则|2a－b|的最大值是____________.

解析：∵2a－b=(2cosθ－，2sinθ+1)，

∴|2a－b|==≤4.

∴|2a－b|的最大值为4.

答案：4

4.在△ABC中，a=sin(A+B)，b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为_______.

解析：a=sinAcosB+cosAsinB＜sinA+sinB=b.

答案：a＜b

3.函数y=的最大值是_______，最小值是_______.

解析：∵y===3－，

∴当sinx=1时，y_max=3－=；

当sinx=－1时，y_min=－4.

答案：　 －4

2.当y=2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.4

解析：y=sin(－x)(其中tan=).y有最大值时，应sin(－x)=1－x=2kπ+－x=2kπ+－.

∴tanx=－tan(－x)=－tan(2kπ+－)=－cot=－=－.

答案：B

1.函数y=log₂(1+sinx)+log₂(1－sinx)，当x∈［－，］时的值域为

A.［－1，0］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－1，0］

C.［0，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.［0，1］

解析：y=log₂(1－sin²x)=log₂cos²x.

当x=0时，y_max=log₂1=0；

当x=时，y_min=－1.∴值域为［－1，0］.

答案：A

5.y=(0＜x＜π)的最小值是________.

解析一：y=ysinx+cosx=2sin(x+)=2

sin(x+)=(x∈(0，π))

0＜≤1y≥.

∴y_min=.

解析二：y可视为点A(－sinx，cosx)，B(0，2)连线的斜率k_AB，而点A的轨迹

x∈(0，π)是单位圆在第二、三象限的部分(如下图)，易知当A(－，)时，y_min=k_AB=.

答案：

●典例剖析

[例1] 函数y=acosx+b(a、b为常数)，若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.

剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论.

解：当a＞0时，a=4，b=－3；

当a=0时，不合题意；

当a＜0时，a=－4，b=－3.

当a=4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin(x+)(tan=－)；

当a=－4，b=－3时，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin(x+)(tan=).

∴bsinx+acosx的最大值为5.

[例2] 求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.

剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题.

解：y=·sinx+·2sinxcosx

=2(cosx+)²+.

∵sinx≠0，∴cosx≠±1.

∴当cosx=－时，y有最小值，无最大值.

评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件.

[例3] 求函数y=的最大值和最小值.

剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题(由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可).

解法一：去分母，原式化为

sinx－ycosx=2－2y，

即sin(x－)=.

故≤1，解得≤y≤.

∴y_max=，y_min=.

解法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P(2，2)以及该圆上的动点M(cosx，sinx)的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1，得k=.

∴y_max=，y_min=.

评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.

●闯关训练

夯实基础

4.y=的最大值是_________，最小值是_________.

解析一：y==1－.

当sinx=－1时，得y_min=－1，

当sinx=1时，得y_max=.

解析二：原式sinx=(∵y≠1)

||≤1－1≤y≤.

∴y_max=，y_min=－1.

答案：　 －1

∴当x=－时，y_min=.

答案：D

3.函数y=x－sinx在［，π］上的最大值是

A.－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.+1

C.－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.π

解析：y=x－sinx在［，π］上是增函数，

∴x=π时，y_max=π.

答案：D

3.判断y=－Asin(ωx+)(ω＞0)的单调区间，只需求y=Asin(ωx+)的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin(－ωx+)(－ω＜0)单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.(读者考虑为什么)

●教师下载中心

教学点睛

本节是图象和性质的综合应用的内容，例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联.

拓展题例

[例1] 判断f(x)=的奇偶性.

正确解法：取x=，f(x)有意义，取x=－，f(x)没有意义，故定义域关于原点不对称.

∴f(x)是非奇非偶函数.

常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f(x)与f(－x)的关系.

[例2] 在△ABC中，a、b、c成等比数列，求函数y=sinB+cosB的值域.

分析：b²=ac可转化为∠B的取值范围.

解：∵b²=ac，cosB===－≥－=，

∴B∈(0，］.∴y=sin(B+)∈(1，］.

拓展：如果a、b、c成等差数列呢?