1.3　 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力

例4 　 已知函数。

(1)将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；

(2)函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；

(3)设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。

解：(1)

(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以

　　　　 ，

于是　　　

即　　　 　

(3).

设，则.

问题转化为：对恒成立.　 即

　　　　　 对恒成立.　　 (*)

故必有.(否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证(*)成立.)，此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，

解之得：.

此时，，故在取得最小值满足条件.

1.2　 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式

例3　设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明.

分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.

证明：由题意可知.

,

∴ ,

∴　 当时，.

又,

∴　 ,

综上可知，所给问题获证.

1.1　 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.

例1 　已知，满足1且，求的取值范围.

分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.

解：由，可解得：

　　　 (*)

将以上二式代入，并整理得

　　　,

∴ .

又∵，,

∴ .

例2　 设，若，，, 试证明：对于任意，有.

分析：同上题，可以用来表示.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 当时，

当时，

综上，问题获证.

1.　　 代数推理

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点式等)，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.

22. (本题14分)已知f(x)=x³+bx²+cx+d在(-，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α，2，β。

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求证f(1)≥2;

(Ⅲ)求│α-β│的取值范围。

21. (本题12分)已知f(x)=，(x≠-，a＞0)，f(1)=log₁₆2，f(-2)=1,

(Ⅰ)求f(x)得表达式；

(Ⅱ)若数列{x_n}满足x_n=[1-f(1)]·[1-f(2)]…[1-f(n)]，试求x₁，x₂，x₃，x₄的值，并由此猜想出x_n的表达式，并证明你的结论。

20.(本题12分)已知≤a≤1，若函数f(x)=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)

(Ⅰ)求g(a)的函数表达式；

(Ⅱ)判断函数g(a)在区间[，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值。

19. (本题12分)这是一个计算机程序的操作说明：

①初始值x=1，y=1，z=0，n=0；

②n=n+1(将当前n+1的值赋予新的n)

③x=x+2(将当前x+2的值赋予新的x)

④y=2y(将当前2y的值赋予新的y)

⑤z=z+xy(将当前z+xy的值赋予新的z)

⑥如果z＞7000则执行语句⑦，否则回到语句②继续进行：

⑦打印n，z;

⑧程序终止。

由语句⑦打印出的数值为_____________、_______________

并写出计算过程。

18.(本题12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log₂3，且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y),

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3^x)+f (3^x-9^x-2)＜0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围。

17. (本题12分)一批零件有5个合格品及2个次品，安装机器后，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出的次品不再放回去，已知取得合格品之前已取出的次品率为ξ，

求(Ⅰ)ξ的概率分布列；

(Ⅱ)Eξ。