4．函数在下列哪个区间上是减函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

解：∵当0≤2x≤π,即0≤x≤时函数是减函数,选(C)

3．已知等差数列中，的值是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．15　　　　　　　　　　　 B．30　　　　　　　　　　　 C．31　　　　　　　　　　　 D．64

解：由,得a₈=8,∴,∴a₁₂=1+8×=15,选(A)

2．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

解：∵不等式的解是x>或x<,选(A)

1．已知集合R|，等于　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．P　　　　　　　　　　　　 B．Q　　　　　　　　　　　 C．{1，2}　　　　　　　 D．{0，1，2}

解：∵P=[0,2],={0,1,2},选(D)

( 15 )(本小题满分12分)

化简并求函数的值域和最小正周期.

[答案]

解:

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

∴　 ，，

∴的值域是，最小正周期是．

( 16 ) (本小题共14分)

如图3所示，在四面体中，已知，

．是线段上一点，，点在线段上，且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]

　(Ⅰ)证明：在中， ∵

　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　 ∴　 ∴

　　　　　　　　　　　　　　　 又∵

　　　　　　　　　 ∴

(II)

解法一：由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，

建立空间直角坐标系C－xyz，则

，，，，

∵为平面ABC的法向量，

为平面ABC的法向量，

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

y

(17 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点A、B满足(如图4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三条中线的交点)

的轨迹方程；

(Ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出

最小值；若不存在，请说明理由．

[答案]

解法一：

(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

　 ，①

∴，②　 　③

　∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为　　 ，∴　　 ⑤，

设的重心G为，则

　　 ⑥ ， 　　　⑦，

由⑥⑦得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

(Ⅱ)由弦长公式得

把②⑤代入上式，得　 ，

设点到直线的距离为，则，

∴ ，

∴ 当，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 ．

解法二：

(Ⅰ)∵　 AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

　　 　① ， 　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，

∴

　　　　　　　 ，

当且仅当，即时，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 .

解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

　 　　　　…(1)

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …(2)

又点A，B在抛物线上，有，

代入(2)化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为，

(II)，

由(I)得，

当且仅当即时，等号成立，

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．

( 18 ) (本小题共12分)

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以表示取球结束时已取到白球的次数．

(Ⅰ)求的分布列；

(Ⅱ)求的数学期望．

[答案]

解：(Ⅰ)取出黄球的概率是，取出白球的概率是，则

，　　 ， 　，

……，　　 ，　　 ，

∴的分布列是

	0	1	2	…
				…

(Ⅱ)

… 　　①

…　　 　　　②

①-②得

…

∴　

∴的数学期望是．

( 19 ) (本小题共14分)

设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．

[答案]

解：(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴

　　　　　　　　　 即　，

∵在［0，7］上，只有，

∴，∴，

∴是非奇非偶函数．

(Ⅱ)由，令，得　　 ，

由，令，得　 ,

∴，

∴是以10为周期的周期函数，

由得，的图象关于对称，

∴在［0，11］上，只有，

∴10是的最小正周期，

∵在［0，10］上，只有，

∴在每一个最小正周期内只有两个根，

∴在闭区间上的根的个数是．

( 20 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图5所示)．将矩形折叠，使点落在线段上．

(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

(Ⅱ)求折痕的长的最大值．

[答案]

解：(Ⅰ)( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程，

( ii ) 当时，设A点落在线段上的点，

，则直线的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)

为，

∴折痕所在的直线方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

由(Ⅰ)知，，∵，∴，

设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，

( i ) 当时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ；

( ii )当时，

设，，

时，l与线段AB相交，此时，

时，l与线段BC相交，此时，

时，l与线段AD相交，此时，

时，l与线段DC相交，此时，

∴将k所在的分为3个子区间：

①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，

　折痕的长，

∴，

②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得　 ，

故当时，是减函数，当时，是增函数，

∵，，

∴，

∴当时，，

，

∴当时， ，

③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，

折痕的长，

　∴，即，

综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．

(11)函数的定义域是　　　　　　　　 ．

[答案]

解：使有意义，则，　

　 ∴ ，∴，

∴的定义域是．

(12)已知向量，，且，则　　　　　　　 ．

[答案]4

解：∵，∴，∴，∴.

(13)已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则　

　　　　　　　　 　．

[答案]

解：的通项为，，

∴的展开式中的系数是,

的通项为，，

∴的展开式中的系数是

∴ ，.

(14)设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，　　　　　 ．(用表示)

[答案]5，

解：由图B可得，

由，，，

，可推得

∵n每增加1，则交点增加个，

∴

．

( 1 ) 若集合，则M∩N　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．{3}　　　　　　　　　　 B．{0}　　　　　　　　　　 C．{0，2}　　　　　　　 D．{0，3}

[答案]B

解: 　∵由，得，

由，得，

∴M∩N，故选B．

( 2 ) 若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．5

[答案]D

解:　 　∵ ，∴，

　　， ，故选D．

( 3 ) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]A

解: ，故选A．

( 4 ) 已知高为3的直棱锥的底面是边长为1的正三角形

(如图1所示)，则三棱锥的体积为　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]D

解:∵

∴．

故选D.

( 5 ) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

解: 　∵，∴，

　 　∵ ，∴，

∴，故选B．

( 6 )函数是减函数的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．(0，2)

[答案]D

解: 　∵

，故选D．

( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、，的四个命题：

①若，点，则与不共面；

②若m、l是异面直线,　 ,　 且，则；

③若, ，则；

④若点，，则．

其中为假命题的是

A．①　　 　 B．②　 　 　C．③　　 　D．④

[答案]C

解：③是假命题，如右图所示

　　　 满足, ，　

　　　 但 　，故选C．

　( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子

　 朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[答案]C

解：满足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以，故选C．

　

( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像

关于直线对称．现将图像沿x轴向左平移2个单位，

再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线

(如图2所示)，则函数的表达式为

　　　 A．　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　 D．

[答案]A

解：将图象沿y轴向下平移1个单位，再沿轴向右平移2个单位得下图A，从而可以得到的图象，故，

∵函数和的图像关于直线对称，

∴，故选A．

(也可以用特殊点检验获得答案)

(10)已知数列满足，，．若，则

A．　　 　　　　　　　　　 B．3　　　 　　　　　　　　　　 C．4　　　 　　　　　　　　　　 D．5

[答案]B

解法一：特殊值法，当时，

　 　　　　　　由此可推测，故选B．

解法二：∵，∴，，

　　　 　∴是以()为首项，以为公比6的等比数列，

令，则

…

　　 …

　　

∴，∴，故选B.

解法三：∵，∴，

　　　　 ∴其特征方程为，

　　　　　　　 解得　　　 ，，

　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　 ∵，，∴，，

　　　　 ∴，以下同解法二．

22．(本小题满分14分)

　　　 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 (Ⅰ)证明

(Ⅱ)猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

21．(本小题满分12分)

　　　 设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

　 (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

　　　　 (此题不要求在答题卡上画图)

20．(本小题满分12分)

　　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

　 (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.