(1)已知，函数为奇函数，则a＝

(A)0　　(B)1　　(C)－1　　(D)±1

解：法一：由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a＝0，选A

法二：得：，则a＝0，选A

点评：主要考查奇函数的定义和性质

(2)圆的切线方程中有一个是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

解：圆心为(1，)，半径为1，故此圆必与y轴(x=0)相切，选C

　点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系

(3)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

(A)1　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4

解： 由平均数公式为10，得则；又由于方差为2，则得，所以有，故选(D)

点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识

(4)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点

(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(B)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)

(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

(D)向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

解：根据三角函数的图像变换法则易得：把向左平移个单位长度得，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)故选(C)

点评：本题主要考查形如的三角函数图像的变换

(5)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是

(A)0　　　(B)2　　　(C)4　　　(D)6

解：展开式通项为，若展开式中含x的正整数指数幂，即所以，选(B)

点评：本题主要考查二项式定理的相关知识

(6)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由题意　　

，所以有

即：，故选(B)

点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法

(7)若A、B、C为三个集合，，则一定有

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：由知，，故选(A)

点评：本题主要考查集合间关系的运算

(8)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是

(A)　　(B)

(C)　　　(D)

解：因为，所以(A)恒成立；

在(B)两侧同时乘以得

所以(B)恒成立；

(C)中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；

(D)中，分子有理化得恒成立，故选(C)

点评：本题主要考查不等式的相关知识

A

D

C

B

(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

图1

(A)1个　　　(B)2个

(C)3个　　　(D)无穷多个

解：法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是

点评：本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型，并不是以计算为主

(10)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

(A)　　　(B)

(C)　　　(D)

解：由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，故选(D)

点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题。

22、解：

(1)　　　 将条件变为：1－＝，因此{1－}为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝(n³1)…………1°

(2)　　　 证：据1°得，a₁·a₂·…a_n＝

为证a₁·a₂·……a_n<2·n！

只要证nÎN^*时有>…………2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN^*，有

³1－()…………3°

用数学归纳法证明3°式：

(i)　　　　　　　　　　 n＝1时，3°式显然成立，

(ii)　　　　　　　　　 设n＝k时，3°式成立，

即³1－()

则当n＝k+1时，

³(1－())·()

＝1－()－+()

³1－(+)即当n＝k+1时，3°式也成立。

故对一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－()＝1－

＝1－>

故2°式成立，从而结论成立。

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

　　　

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因为，椭圆　 Q右准线l方程是x＝，原点距l

的距离为，由于c²＝a²－b²，a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£)

则＝＝2sin(+)

当q＝时，上式达到最大值。此时a²＝2，b²＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，三角形ABD的面积

S＝|y₁|+|y₂|＝|y₁－y₂|

设直线m的方程为x＝ky+1，代入中，得(2+k²)y²+2ky－1＝0

由韦达定理得y₁+y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝(y₁－y₂)²＝(y₁+y₂)²－4 y₁y₂＝

令t＝k²+1³1，得4S²＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

22、(本大题满分14分)

已知数列{a_n}满足：a₁＝，且a_n＝

(1)　　　 求数列{a_n}的通项公式；

(2)　　　 证明：对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·……a_n<2·n！

21、解：如图，(1)设椭圆Q：(a>b>0)

上的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又设P点坐标为P(x，y)，则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

21、(本大题满分12分)

如图，椭圆Q：(a>b>0)的右焦点F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

(1)　　　 求点P的轨迹H的方程

(2)　　　 在Q的方程中，令a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£ )，确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

20、解法一：

(1)　　　 方法一：作AH^面BCD于H，连DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC　 \BD^DC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

(2)　　　 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

(3)　　　 设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略

20、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

(1)　　　 求证：AD^BC

(2)　　　 求二面角B－AC－D的大小

(3)　　　 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD

成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

19、(本小题满分12分)

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设ÐMGA＝a()

(1)　　　 试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)

表示为a的函数

(2)　　　 求y＝的最大值与最小值

解：(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理,得

则S₁＝GM·GA·sina＝,

同理可求得S₂＝.

(2)y＝＝

＝72(3+cot²a)因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216

18、(本小题满分12分)

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：

(1)x的分布列　 (2)x的的数学期望

解：(1)x的所有可能的取值为0，10，20，50，60

分布列为

x	0	10	20	50	60
P

(2)Ex＝3.3

17、(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x³+ax²+bx+c在x＝－与x＝1时都取得极值

(1)　　　 求a、b的值与函数f(x)的单调区间

(2)　　　 若对xÎ(－1，2)，不等式f(x)<c²恒成立，求c的取值范围。

解：(1)f(x)＝x³+ax²+bx+c，f¢(x)＝3x²+2ax+b

由f¢()＝，f¢(1)＝3+2a+b＝0得

a＝，b＝－2

f¢(x)＝3x²－x－2＝(3x+2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表：

x	(－¥，－)	－	(－，1)	1	(1，+¥)
f¢(x)	+	0	－	0	+
f(x)	­	极大值	¯	极小值	­

所以函数f(x)的递增区间是(－¥，－)与(1，+¥)

递减区间是(－，1)

(2)f(x)＝x³－x²－2x+c，xÎ(－1，2)，当x＝－时，f(x)＝+c

为极大值，而f(2)＝2+c，则f(2)＝2+c为最大值。

要使f(x)<c²(xÎ(－1，2))恒成立，只需c²>f(2)＝2+c

解得c<－1或c>2