5．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁，x₂，……，x_n，有

≤f()．

　　　 已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为______．

4．下列函数中，值域是(0，+∞)的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　　 A．y=2x+1(x＞0)　　　　　　　　 B．

　　　 C．y = x² +x+1　　　　　　　　　　　 D．y =

3．函数y=x+的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 A．{y|y≥}　 B．{y|y≤}　 C．{y|y≥0}　 D．{y|y≤0}

2．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是　　　　　　 (　 )

　A．[-2，3]　　 B．[2，3]　　 C．[0，2]　 　D．[0，3]

1．函数y= 的值域是 　　　　　　．

2．掌握函数与方程的思想．

函数与方程的思想就是，先构造函数，把给定问题转化为所构造函数的性质研究后，得出所需的结论．方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程或方程组的认识．

[训练反馈]

1．设函数f(x)存在最大值M与最小值m，λ为待求常数．

　　　 (1)若对定义域内的任一x，都有λ≥f(x)，则λ≥M；

(2)若对定义域内的任一x，都有λ≤f(x)，则λ≤m；

(3)若存在x₀，使得f(x₀) ≥λ，则λ≤M；

(4)若存在x₀，使得f(x₀) ≤λ，则λ≥m．

5．定义域为R的函数y = f(x)的值域为[a，b]，则f(x+a)的值域为　 　　　　(　 )

　　　 A．[2a，a+b]　　　 　　 B．[0，b-a]　　　　 C．[a，b]　　　　　 D．[-a，a+b]

[讲练平台]

　　　 例1　 求下列函数的值域：

　　　 (1)；

(2)；

(3)．

分析　 (1)先对表达式进行化简，后利用反函数法或观察法求值域；(2)将其转化为含有参数y的关于x的方程，利用“判别式”法求解；(3)先换元，得到新变量的一元二次函数，再求其值域，或利用函数的单调性求值域．

解　 (1)　 (x≠1)．

解法一(反函数法) 由函数y = ，得．

解不等式≠1，且≠ -3，得

　　　 y≠，且y≠2．

故函数的值域为{y|y∈R，且y≠，y≠2}

解法二(观察法) y = ．

由于x≠1，且x≠ -3，故x+3≠4，且x+3≠0，从而，y≠，且y≠2．

故函数的值域为{y|y∈R，且y≠，y≠2}

(2)由，得yx²-(y+1)x+y=0，这是一个关于x的方程．

当y=0时，解得x=0，方程有解；

当y≠0时，为使关于x的二次方程有解，必须△= (y+1)² - 4y²≥0，解得

≤y≤1(y≠0)．

综合得，函数的值域是[，1]．

(3)解法一　 令t=，得 x=1-t²，于是y= g(t)=1-t²-t(t≥0)．

配方，得 y= g(t) = - (t+)²+，它在为减函数，故最大值为g(0)=1，于是，所求函数的值域是(-∞，1 ]．

解法二　 易知函数的定义域为(-∞，1 ]，而且该函数在定义域内为减函数，故最大值为f(1) = 1，从而所求函数的值域为(-∞，1 ) ．

点评　 (1)求函数值域有很多方法，每种方法又各有其适用类型，要根据函数式的特征准确选用相应的方法：上述各小题的解法分别使用了反函数法(反函数的定义域就是原函数的值域)、观察法(形如(a≠0)的函数的值域为{y|y∈R，且y≠})、判别式法及换元法与单调性法；

(2)在用判别式法求值域时，如果得到的关于x的方程的二次项系数中含有字母y，则应分情况讨论．例如，求函数的值域，变形得到方程yx²-yx+(y-1)=0，易见，当y=0时，方程无解；当y≠0时，由△≥0，解得 0≤y≤(y≠0)．故值域为]，而不是[0，]；

(3)利用换元法解题时，必须注意变量的等价性，如题(3)中新变量t的取值范围为t≥0，若忽视了这一点，可能导致错误的答案为y≤；

(4)函数(2)亦可用不等式法求值域．当x = 0时，y = 0；当x≠0时， y =，因≥1，或≤-3，故≤y≤1(y≠0)．于是，函数的值域为[，1] ．

　　　 变题　 已知函数y = 的值域为[1，9]，试求函数y=的值域．

　　　 提示：将y = 变形为(y – a)x² –8x+ y – b=0，利用“△≥0”可得

　　　　　　　 y² – (a+b)y+ab-16≤0．

　　　 它与不等式(y-1)(y-9) ≤0，即y²-10y+9≤0等价，比较系数得

　　　　　　　 a = b = 5．

　　　 y==≥．

例2　 已知函数f(x)=2-x²，g(x)=x．若f(x)*g(x)=min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是　 　　　．(注：min表示最小值)

分析　 这是一道信息题，应将表达式f(x)*g(x)=min{f(x)，g(x)}进行展开，得到分段函数后，画出图像，根据图像得出所求的最大值．

解　 y=f(x)*g(x) ．

画出上述函数的图像，如图1的实线部分，由图易知，图中的最高点A的纵坐标即为所求．

解方程组，得

(x，y) = (1，1)或(-2，-2)．

于是所求的最大值为1．

点评　 (1)分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数的图像，然后观察(求)出它们在各段图像上的最值点，并比较它们最值的大小；

(2)容易误认为所求的最大值就是函数f(x)的最大值或g(x)的最大值；

(3)不能认为 –2是的最小值．

变题　 已知函数f(x)=2-x²，g(x)=x．若F(x)= f(x)*g(x)= max{f(x)，g(x)}，那么F(x)是否存在最小值．请说明理由．

答案：不存在最小值．(注：只存在极小值1，极大值2)

例3　 已知函数f(x)=．

　　　 (1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值；

　　　 (2)当a= 4时，求函数f(x)的最小值．

　　　 分析　 这是一个带有定义域的分式函数求最值问题，能否使用算术几何平均值不等式求最值，要视a的取值而定．因为用算术几何平均值求最值的条件是“一正二定三相等”，这里的相等条件能否成立是一个关键．

解　 (1)当a =0.5时，f(x)=x++2， ．

任设1≤x₁＜x₂，则

f(x₁) - f(x₂) =( x₁++2)-( x₂++2)=

因1≤x₁＜x₂，故x₁- x₂＜0，且x₁x₂＞1，于是x₁x₂＞0，2x₁x₂-1＞0，从而f(x₁) - f(x₂)＜0，即f(x₁) ＜ f(x₂)，故f(x)在上是增函数，所以f(x)在上的最小值是f(1)=．

　　　 (2)≥，

当且仅当，即x=2∈[1，+∞)时，取“=”，

故函数的最小值为6．

点评　 (1)求函数值域(最值)方法很多，单调性法是重要方法之一．当诸多方法失效时，单调性法往往奏效；

(2)对于题(1)，不能用判别式法求最小值．事实上，由y=x++2得2x²-2(y-2)x +1=0，由△= 4(y-2)²-8≥0得 y≥2+(因y＞0，故y≤2-，不合，舍去．)．这时若认为y_min=2+那就错了．因为当y=2+时，2x²-2x+1=0，解得x=；也不能用算术几何平均值不等式求最值．事实上，y=x++2=2+，取等号的条件是x=，即x=，但，故该法也是失效的．

　　　 变题1　 求函数f(x)=的最小值，其中a为常数，且a＞0．

　　　 答案：f_min(x) =

　　　 变题2　 求函数(a为正常数)的最小值．

　　　 答案：．

例4　 已知函数f(x)= 　m，n∈R．

(1)若m∈N*，x∈R，　且f(x)的值域为[1，2]，求m，n的值；

(2)若n= -1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围．

分析　 (1)先“脱”去对数符号，即变为一个分式函数的值域为[2，4]，可利用“判别式”法及根与系数的关系，求m，n的值；(2)对数函数的值域为R，等价于真数能取遍一切正实数，即真数的最小值应为非正数，同样也可以使用“判别式”法加以求解．

解　 (1)设y= ， 由已知，得2≤y≤4．

将分式变形为　 myx²+y=3x²+2x+n，

即　 (3-my)x²+2x+n-y=0．

故　 △=4-4(n-y)(3-my)≥0，

即　 my²-(3+mn)y+3n-1≤0 ．　　　

因　 2≤y≤4，

故 　　　

解得　 m=1，n=3．(m = ，n = ，不合，舍去．)

(2) ①m=0时，f(x)=∈R；

　②m≠0时，要使f(x)∈R，只须的值域包含(0，+∞)，即．

设y= ，即(3-my)x²+2x-1-y=0，从而

△= -4[my²-(3-m)y-4]≥0，

　　　 即　 my²-(3-m)y-4≤0．

要使函数的值域包含(0，+∞)，只须m＜0时，且方程有两个负根(相等或不等)，故

Þ　 Þm≤-9 或-1≤m＜0．

综上所述，m的取值范围为：m≤-9 或-1≤m＜0．

点评　 函数f(x) = log_ag(x)的值域为R(其中x∈R，g(x) = mx²+nx+p，m≠0，m、n、p∈R，a∈(0，1)∪(1，+∞))Û(0，+∞)Í{g(x)| x∈R} Û函数g(x)的最小值不大于0Û存在x₀∈R ，使得g(x₀) ≤0Û△≥0，且m＞0．

[知能集成]

4．已知集合A={y︱y=2^x， x∈R} B={y︱y=x² ，x∈R}则　　　　　　 (　 )

A． A∩B={2 ，4} 　B． A∩B={4 ，16} 　C． A=B　 　D．AB

3．函数的值域为　　　 (　 )

A．[-1，0]　　　 B．(-1，0)　　　　 C．[-1，0]　　　 D．[0，1]