26.1.3m²

解:作OE⊥BC,垂足为E,设矩形外接圆的圆心为O,连结AC、BD.∵矩形ABCD的AC=2m,BC=1m,∴∠BAD=∠BCD=90°,AB=, ∴AC、BD均为⊙O的直径,∴⊙O的半径R==1(m),∵BO=CO=BC=1,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC= 60°.在Rt△OEB中,OB=1,∠OBE=60°, ,　 ∴OE=OB·sin∠OBE=(m),应打掉的墙体面积为S=

　　　　 =(m)

　　 点拨:本题实质上是求以AB、AD、DC为弦的三块弓形墙面的面积之和,通过本题的练习进一步培养读者应用数学的意识.

25.解:连结OD、AD.∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°,∵∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=90°-45°=45°,∴DB=DA.∵OA=OD=OB, ∴∠ODB=∠B=45°,∴∠BOD=90°,∴∠AOD=90°,∴OD⊥AB,∴,

∵ , ∴

　　 点拨:本题应用整体上把握阴影部分与图形间的等量组合,通过证得弓形　 和弓形 面积相等,将所求阴影面积转化为求△ACD的面积来解决,避免分别求阴影面积再相加.

24.解:设O为所在圆的圆心,其半径为x米作半径OP⊥AB,垂足为M, 交A′B′于N,∵AB==60米,MP=18米,OP⊥AB,

∴AM=AB= 30(米),OM=OP-MP=(x-18)米,

在Rt△OAM中,由勾股定理得OA²=AM²+OM²,

∴x²=30²+(x-18)²,∴x=34(米).

连结OA′,当PN=4时,∵PN=4,OP=x,∴ON=34-4=30(米).

设A′N=y米,在Rt△OA′N中,∵OA′=34,A′N=y,ON=30,

∴34²=y²+30²,∴y=16或y=-16(舍去),

∴A′N=16,∴A′B ′= 16×2=32(米)>30米,

∴不需要采取紧急措施.

　　 点拨:这是一道垂径定理、勾股定理在实践中的综合应用题,做题时, 应认真审题、正确构造出直角三角形,恰当选用题中的数据进行分析.

23.(1)设C是⊙O上任一点(不与A、B重合),连结OC,过C点作直线CF⊥OC垂足为C,则直线CF即为过C点的圆的切线.

　　 (2)圆中相等的线段有OA=OB,BC=CE,AE=AB.理由:∵同圆的半径相等,∴OA= OB,∵CF是⊙O的切线,∴OC⊥CE,∵AE⊥CD,∴OC∥AE,∵OA=OB,∴CB=CE,∴OC 是△ABC的中位线,∴OC=AE.∵OA=OB=OC,∴OC=AB,∴ AE=AB,∴AE=AB.

点拨:该题从总体上来看是一道开放型题目,应全面考虑,避免出现将作出的辅助线当作已知线段的失误.

22.解:连结OE,∵ED切⊙O于E,∴∠OED=90°,

∴∠OEA+∠AED= 90°.∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE.

∵AE平分∠BAC,∴∠OAE=∠EAD,∴∠OEA=∠EAD,

∴∠EAD+∠AED=90°,即∠ADE=90°.故△ADE是直角三角形.

　　 点拨:应用切线性质及等腰三角形、角平分线的性质可解决.

21.6cm

解:连结OD、OE.∵AB、AC切小圆于D、E,

∴OD ⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,

∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.

∵△ABC的周长= AB+AC+BC=12cm,

∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AB+AC+BC=(AB+AC+BC)=×12=6(cm),

故△ADE的周长为6cm.

　　　 点拨:遇到切线就连结切点和圆心得过切点的半径与该切线垂直,再运用垂径定理、三角形中位线定理,将所求的三角形的周长看作一个整体来解决,从而避免盲目地分别求解.

20.

　解:∵∠AOB=60°,∴的度数=60°,

∵C、D分别是的三等分点,∴,

∵n=∠AOB=60°,R=OA=6,

∴

　　　 点拨:从整体上把握图形间的联系,以及图形间的组合, 避免分别求阴影部分面积再相加,通过等积图形的替换转化为一个扇形为解决.

19.

　解:连结OB、OC. ∵AB切⊙O于B,∴∠OBA=90°.在Rt △OAB中,OA=4,OB=2,

∴OB=OA,∴∠OAB=30°,∵OA∥BC,∴∠OAB+∠ABC=180°, ∴∠ABC=150°,

又∠OBA=90°,∴∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC为等边三角形,

又∵OA∥BC,∴△BCO与△BCA面积相等,

即,∴

　　　 点拨:解此题时运用同底等高的三角形面积相等,将所求阴影部分面积转化为求扇形面积即可.

18.外切或内切

解:∵x²-2rx+(R-d)²=0有相等的实数根,

∴△=0,即(-2r) ²-4×1×(R-d)²=0,4r²-4(R-d)²=0,

∴r²-(R-d)²=0(r+R-d)(r-R+d)=0,∴r+R-d= 0或r-R+d=0,

∴d=R+r或d=R-r,∴两圆相外切或相内切.

　　　 点拨:这是“圆”与“一元二次方程”相关联的一道综合题， 解题时应由判别式等于零，得到圆心距d与两半径R、r之间的两种关系式.从而得到两圆的两种位置关系,易漏掉其中的一种情况.

17.4cm或16cm

解:设另一圆的半径为R₂cm,∵d=10cm,R₁=6cm.

①当两圆相内切时,得=d,∴=10,R_­2=16(cm);　

②当两圆相外切时,R₁+R₂=d, ∴6+R₂=10,R₂=4(cm) .

综上所述另一圆的半径为4cm或16cm.