课堂巩固练习八年级数学人教版
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24. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现$∠BOC=90°+\frac {1}{2}∠A,$试说明理由.
答案：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠OBC=\frac {1}{2}∠ABC，$$∠OCB=\frac {1}{2}∠ACB，$
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴$∠OBC+∠OCB=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac {1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac {1}{2}∠A，$
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac {1}{2}∠A)=90°+\frac {1}{2}∠A$
(2)如图2,O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线BO₂和CO₂的交点,则∠BO₂C与∠A有怎样的关系?
答案：$∠BO₂C=120°+\frac {1}{3}∠A$
∵O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线交点，
∴$∠O₂BC=\frac {2}{3}∠ABC，$$∠O₂CB=\frac {2}{3}∠ACB，$
$∠O₂BC+∠O₂CB=\frac {2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac {2}{3}(180°-∠A)=120°-\frac {2}{3}∠A，$
$∠BO₂C=180°-(∠O₂BC+∠O₂CB)=180°-(120°-\frac {2}{3}∠A)=60°+\frac {2}{3}∠A（$注：原答案可能存在图形理解偏差，若O₂为靠近BC的三等分点，则$∠O₂BC=\frac {1}{3}∠ABC，$$∠O₂CB=\frac {1}{3}∠ACB，$此时$∠BO₂C=120°+\frac {1}{3}∠A，$此处以常见三等分线夹角结论修正）
(3)如图3,在四边形ABCD中,O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A,∠D有怎样的数量关系?直接写出结论.
答案：$∠BOC=\frac {1}{2}(∠A+∠D)$
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB，
∴$∠OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle DCB)=\frac{1}{2}(360^{\circ }-\angle A-\angle D)=180^{\circ }-\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)，$
$\therefore \angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)$
