学习指导与练习基础模块
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1. 判断下列命题的真假：(1) 如果$-2x ＞ 6$，那么$x ＜ -3$；(2) 如果$x ＜ 6$，那么$|x| ＜ 6$。
答案：(1) 真命题；(2) 假命题。
解析：(1) 由$-2x ＞ 6$，两边同除以$-2$（不等号变向）得$x ＜ -3$，故为真命题。(2) 当$x = -7$时，$x ＜ 6$成立，但$|x| = 7 ＞ 6$，故为假命题。
2. 写出下列命题的逆命题，并判断下列命题中的条件$p$是否为$q$的必要条件。(1) 如果$\tan\alpha = 1$，那么$\alpha = \frac{\pi}{4}$；(2) 如果$a,b$都是偶数，那么$a + b$是偶数。
答案：(1) 逆命题：如果$\alpha = \frac{\pi}{4}$，那么$\tan\alpha = 1$；$p$是$q$的必要条件。(2) 逆命题：如果$a + b$是偶数，那么$a,b$都是偶数；$p$不是$q$的必要条件。
解析：(1) 原命题中$p:\tan\alpha = 1$，$q:\alpha = \frac{\pi}{4}$。逆命题为“若$\alpha = \frac{\pi}{4}$，则$\tan\alpha = 1$”。判断$p$是否为$q$的必要条件，即判断$q \Rightarrow p$是否成立。因为$\alpha = \frac{\pi}{4}$时，$\tan\alpha = 1$，所以$q \Rightarrow p$，故$p$是$q$的必要条件。(2) 原命题中$p:a,b$都是偶数，$q:a + b$是偶数。逆命题为“若$a + b$是偶数，则$a,b$都是偶数”。判断$p$是否为$q$的必要条件，即判断$q \Rightarrow p$是否成立。当$a = 1,b = 3$时，$a + b = 4$是偶数，但$a,b$都是奇数，故$q \nRightarrow p$，所以$p$不是$q$的必要条件。
B组（一）选择题1. 以下命题中，条件$p$不是结论$q$的充分条件的是（ ）。A. $p:x ＞ y,q:y ＜ x$ B. $p:$函数$f(x)$是偶函数,$q:f(5) = f(-5)$ C. $p:\cos\alpha = 1,q:\alpha = 0$ D. $p:$直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{2},q:$直线$l$与$x$轴垂直
答案：C
解析：A选项中$p \Leftrightarrow q$，$p$是$q$的充分条件；B选项中偶函数满足$f(-x) = f(x)$，故$p \Rightarrow q$，$p$是充分条件；C选项中$\cos\alpha = 1$时，$\alpha = 2k\pi(k \in \mathbb{Z})$，$\alpha = 0$只是其中一个解，故$p \nRightarrow q$，$p$不是充分条件；D选项中倾斜角为$\frac{\pi}{2}$的直线与$x$轴垂直，$p \Rightarrow q$，$p$是充分条件。故选C。
B组（一）选择题2. 以下命题中，条件$p$是结论$q$的必要条件的是（ ）。A. $p:(x - 1)(x - 2) = 0,q:x = 2$ B. $p:x ＞ y,q:x^2 ＞ y^2$ C. $p:A \subseteq B,q:A \cap B \neq \varnothing$ D. $p:$函数$f(x)$是奇函数,$q:$函数$f(x)$的定义域关于原点对称
答案：A
解析：必要条件即$q \Rightarrow p$。A选项中$q:x = 2$时，$(x - 1)(x - 2) = 0$，故$q \Rightarrow p$，$p$是$q$的必要条件；B选项中$q:x^2 ＞ y^2$时，$x ＞ y$不一定成立（如$x = -3,y = 2$），$q \nRightarrow p$；C选项中$q:A \cap B \neq \varnothing$时，$A \subseteq B$不一定成立（如$A = \{1,2\},B = \{2,3\}$），$q \nRightarrow p$；D选项中$q:$定义域关于原点对称时，函数不一定是奇函数，$q \nRightarrow p$。故选A。
