学习指导与练习基础模块
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（一）填空题
1. 方程$x^{2}+6x+9=0$的解集中的元素有______.
答案：-3
方程$x^{2}+6x+9=0$可化为$(x+3)^{2}=0$，解得$x=-3$，故解集中的元素为$-3$。
2. 设集合A是由所有的矩形组成的集合，则正方形______A(用符号“∈”或“∉”填空).
答案：∈
正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，所以正方形属于集合A。
（二）选择题
1. 下列说法正确的有( ).
①$2∈N$;②$\frac {1}{4}∈Q$;③$\sqrt {2}+1∈Q$;④$-3∉Z$;⑤$\frac {\sqrt {9}}{3}∈N^{*}$.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案：B
①$N$为自然数集，$2$是自然数，所以$2∈N$，正确；②$Q$为有理数集，$\frac{1}{4}$是有理数，所以$\frac{1}{4}∈Q$，正确；③$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2}+1$是无理数，$∉Q$，错误；④$Z$为整数集，$-3$是整数，所以$-3∈Z$，错误；⑤$\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$，$N^{*}$为正整数集，$1∈N^{*}$，正确。综上，正确的有①②⑤，共3个，答案选C。
2. 若集合A中的元素y满足关系式$y=2k+1$,其中$k∈Z$,则下列选项正确的是( ).
A. $-1∈A$
B. $0∈A$
C. $2∈A$
D. $\frac {1}{3}∈A$
答案：A
A. 令$2k+1=-1$，解得$k=-1$，$-1∈Z$，所以$-1∈A$，正确；B. 令$2k+1=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}∉Z$，所以$0∉A$，错误；C. 令$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}∉Z$，所以$2∉A$，错误；D. $\frac{1}{3}$不是整数，且令$2k+1=\frac{1}{3}$，解得$k=-\frac{1}{3}$，$-\frac{1}{3}∉Z$，所以$\frac{1}{3}∉A$，错误。答案选A。
（三）解答题
设方程$2x^{2}+x-1=0$的解集为集合A,判断集合A中元素的个数,并写出A中的元素.
答案：集合A中有2个元素，分别为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
对于方程$2x^{2}+x-1=0$，判别式$\Delta=1^{2}-4×2×(-1)=1 + 8=9＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
由求根公式可得$x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{-1\pm3}{4}$，即$x_1=\frac{-1 + 3}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{-1 - 3}{4}=-1$，所以集合A中有2个元素，$A=\{\frac{1}{2},-1\}$。
四、拓展延伸
设集合A是方程$x^{2}-2x+a=0$所有的解组成的集合.
(1) 若$1∈A$,求实数a的值;
答案：1
因为$1∈A$，所以将$x=1$代入方程$x^{2}-2x+a=0$，得$1 - 2 + a=0$，解得$a=1$。
(2) 若A为∅,求实数a的取值范围;
答案：$a＞1$
集合A为空集，即方程$x^{2}-2x+a=0$无实数解，判别式$\Delta=(-2)^{2}-4×1× a=4 - 4a＜0$，解得$a＞1$。
(3) 若A中有两个不同的元素,求实数a的取值范围.
答案：$a＜1$
集合A中有两个不同元素，即方程$x^{2}-2x+a=0$有两个不相等的实数解，判别式$\Delta=4 - 4a＞0$，解得$a＜1$。
