24、

解：(1)如图4，连结

　　······································································ 1分

　　，······································· 2分

　是的直径(也可用勾股定理求得下面的结论)

　，　················································· 3分

　，，(写错一个不扣分)········································ 4分

　(2)过点　·········································· 5分

　当时，　　··········································· 6分

　，

　(也可用勾股定理逆定理证明)······························· 7分

　是的切线······················································································· 8分

　(3)过点

　···························································· 9分

························································································· 10分

24．(本题满分12分)

如图15，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．

(1)求点的坐标；

(2)求证：是的切线；

(3)若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围．

24、.⑴解：方法一：

∵B点坐标为(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得解这个方程组，得

∴此抛物线的解析式为　 　…………　　 (3分)

方法二：

　∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，

∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)。　 ………　　 (1分)

　 根据题意可设抛物线解析式为。　 其过点A(0，1)和C(-2．2)

　 ………　 解这个方程组，得

　 此抛物线解析式为

(2)解：

①过点B作BN，垂足为N．

　 ∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．

　 ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

∴PN=PS-NS= ………………………… (5分)

　 在RtPNB中．

　 PB＝

∴PB＝PS＝………………………… (6分)

②根据①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵ ，

∴，

同理SBP＝………………………… (7分)

∴

∴

∴.

∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)

③方法一：

设，

∵由①知PS＝PB＝b．，。

∴

∴。………………………… (9分)

假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。

若使△PSM∽△MRQ，

则有。

即

∴。

∴SR＝2

∴M为SR的中点.………………………… (11分)

若使△PSM∽△QRM，

则有。

∴。

∴。

∴M点即为原点O。

　 综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

方法二：

　 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

　 当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

　 由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。

∴。………………………… (9分)

　 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……………… (10分)

∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点　 …………………… (11分)

当△PSM∽△QRM时，

又，即M点与O点重合。

∴点M为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；

当点M为原点时，PSM∽△Q RM………………………　　 (13分)

24．(本题满分12分)如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB＝PS；

②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

22、福州市解：(1)重叠部分的面积等于(2)等边三角形的边长a至少为10cm(3)等边三角形的边长为

22．(本题满分10分)

已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN(N为不动点)的边长为cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。

(1)将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？

(2)将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？

(3)将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

28、(8分)如图：直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点A、B，M(t，0)是x轴上异于A的一点，以M为圆心且过点A的圆记为⊙M.

(1)求证：直线AB将⊙M的周长分为1：3两部分；

(2)若直线AB被⊙M所截得的弦长为，求t的值；

(3)若点N是⊙M上的一点，是否存在实数t，使得四边形ABMN为平行四边形？若存在，求出t的值，并写出N的坐标；若不存在，说明理由.

23.(15分)已知抛物线与直线：的交点除了原点外，还相交于另一点.

(1)分别求出这个抛物线的顶点、点的坐标(可用含的式子表示)；

(2)将抛物线沿着轴对折(翻转)后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：

　①当时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线上；

②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点，使点到直线的距离等于线段的？若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由。

28、证明：(1)∵AE⊥BD，∴=，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.

解： (2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB²=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴==. 设⊙A的半径为R，由AB²－OA²=BO²，OE=R－3，得R²－3²=4(R－3)²，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB²=25.

(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)

(3)答：②的值不变.

证明：作O₁K⊥MN于K，连结O₁N、PN、BM，

则MN=2NK， 且∠N O₁K=∠NPM，

∴==2sin∠NO₁K=2sin∠NPM，

由直线y=x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，

∴∠BMO=∠DMO，

又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，

∵∠ABM=∠PNM，

∴∠MPN=∠BAM=∠NO₁K，=2sin∠BAM=2×= ，　

　 所以的值不变，其值为 .

30、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，∠CBD的平分线交CE于点H.

(1)求证：BE=HE；

(2)若AH⊥CE，Q为 上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，

求AT•AG的值；

(3)如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作⊙O₁交y轴于另一点N，设⊙O₁的半径为R，当k=时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.