15. (全国卷III)

在等差数列中，公差的等差中项.

已知数列成等比数列，求数列的通项

解：由题意得：……………1分　

　　　 即…………3分

又…………4分　

又成等比数列,

∴该数列的公比为，………6分

所以………8分

又……………………………………10分

所以数列的通项为……………………………12分

14.(全国卷II)

已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．

(Ⅰ) 证明为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．

(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)

解：(Ⅰ)设数列{a_n}的公差为d，依题意，由 　得

　　　 即，得 　因

　 当=0时，{a_n}为正的常数列 就有

　　 当=时，,就有

于是数列{}是公比为1或的等比数列

(Ⅱ)如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。

因而=≠0，这时公比=，

这样的前项和为

则S=

　　 由，得公差=3，首项==3

13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．

(Ⅰ) 证明为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差．

　(I)证明：∵、、成等差数列

∴2=+，即

又设等差数列的公差为，则(－)=(－3)

这样，从而(－)=0

∵≠0

∴=≠0

∴

∴是首项为=，公比为的等比数列。

(II)解。∵

∴=3

∴==3

12. (全国卷Ⅰ)

设等比数列的公比为，前n项和。

(Ⅰ)求的取值范围；

(Ⅱ)设，记的前n项和为，试比较与的大小。

解：(Ⅰ)因为是等比数列，

当

上式等价于不等式组：　　　 ①

或　 ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.

综上，q的取值范围是

(Ⅱ)由得

于是

又∵>0且－1<<0或>0

当或时即

当且≠0时，即

当或=2时，即

11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。

(Ⅰ)求的通项；

(Ⅱ)求的前n项和。

解：(Ⅰ)由 　得

即

可得

因为，所以 　解得，因而

　(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列，故

则数列的前n项和

前两式相减，得　

　 即　

10. (辽宁卷)已知函数设数列}满足，数列}满足

　 (Ⅰ)用数学归纳法证明；

　 (Ⅱ)证明

解：(Ⅰ)证明：当　 因为a₁=1，

所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

　 (1)当n=1时，b₁=，不等式成立，

　 (2)假设当n=k时，不等式成立，即

那么　 　　………………6分

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立。　 …………8分

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，

所以　

…………10分　

故对任意………………(12分)

9. (江苏卷)设数列{a_n}的前项和为,已知a₁=1, a₂=6, a₃=11,且, 其中A,B为常数.

(Ⅰ)求A与B的值;

(Ⅱ)证明数列{a_n}为等差数列;

(Ⅲ)证明不等式.

解：(Ⅰ)由，，，得，，．

把分别代入，得

解得，，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即

，　　　　　　　　　　　 ①

又．　 ②

②-①得，，

即．　　　　　　　　 ③

又．　　　　　　　　 ④

④-③得，，

∴，

∴，又，

因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，．考虑

．

．

∴．

即，∴．

因此，．

8. (湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

　 (Ⅰ)求x_n+1与x_n的关系式；

　 (Ⅱ)猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不

要求证明)

　 (Ⅱ)设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈(0,2)，都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的

　　　　 最大允许值是多少？证明你的结论.

解(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

　 (II)若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由(*)式得

　　　　 因为x₁>0，所以a>b.

　　　　 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

　 (Ⅲ)若b的值使得x_n>0，n∈N*

　　　　 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

　　　　 0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

　　　　 而x₁∈(0, 2)，所以

　　　　 由此猜测b的最大允许值是1.

　　　　 下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

　　　　 ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

7. (湖南卷)已知数列为等差数列，且

　 (Ⅰ)求数列的通项公式；

　 (Ⅱ)证明

(I)解：设等差数列的公差为d.

　　 由即d=1.

所以即

(II)证明因为，

所以

6. (湖北卷)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 (Ⅰ)证明

(Ⅱ)猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

解：(Ⅰ)证法1：∵当

即　

于是有　

所有不等式两边相加可得　

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

　 (i)当n=3时，　 由

知不等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由(i)、(ii)知，

又由已知不等式得　

　 (Ⅱ)有极限，且

　 (Ⅲ)∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有