3．(本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分)

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.

已知无穷等比数列的首项、公比均为.

(1)试求无穷等比子数列()各项的和；

(2)是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；

(3)试设计一个数学问题，研究：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.

[第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.]

2．(本题满分16分)第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

观察数列：

①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；

③

(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________________，对于一切正整数都满足___________________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；

(2)若数列满足为的前项和，且，证明 为周期数列，并求；

(3)若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.

1．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

　 设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

　 (2)在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；

　(3)请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．

16．对于各数互不相等的正数数组(是不小于的正整数)，如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 　　　　　.

15．是等差数列，，则数列的前项和____________.

14．正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有___________个.

13．等比数列的公比为，前项和为满足，那么的值为____________．

12．把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如上图所示的数表，第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为，则这个数可记为A(________).

11．等差数列中，公差，，则=　　　　 ．

10．用数学归纳法证明等式：(，)，验证

时，等式左边=　　　　 ．